На какое количество длин волн света равна ширина щели, если монохроматический свет падает на нее под углом, при котором

Игоревна

36

Конечно! Давайте решим задачу о дифракции света на щели подробно.

Для начала, рассмотрим схему распространения световых лучей через щель:

<----- Луч света
------------------- -----------
| Ширина щели |
| \ |
| \ |
| \ |
| \ |
| \ |
| y \ |
------------------- ------------
| К |

Между двумя соседними светлыми полосами дифракционной интерференционной картины есть разность хода между лучами, прошедшими через верхнюю и нижнюю крайние щели.

Если угол под которым падает светлая дифракционная полоса равен \( \theta \), то соответствующая разность хода будет равна \( d_1 \). Эта разность хода будет равна пути, пройденному разностью хода световых лучей, увеличенному на путь, пройденный разностью времени волновых фронтов.

Разность хода между световыми лучами, прошедшими через верхнюю и нижнюю крайние щели, можно рассчитать с помощью следующего соотношения:

\[ d_1 = y \cdot \sin(\theta) \]

Здесь \( y \) - это расстояние между центрами соседних светлых полос, а \( \theta \) - угол между нормалью к плоскости щели и лучом, прошедшим через центр светлой дифракционной полосы.

Так как в задаче говорится о второй светлой полосе, отстоящей от нулевой на 1 градус, то мы можем записать соотношение для второй дифракционной полосы следующим образом:

\[ d_2 = y \cdot \sin(\theta + \Delta\theta) \]

где \( \Delta\theta \) — это угол смещения второй дифракционной полосы относительно нулевой.

Так как мы ищем количество длин волн света, равное ширине щели, то мы можем записать эти два соотношения следующим образом:

\[ d_1 = \lambda \quad \text{и} \quad d_2 = 2\lambda \]

где \( \lambda \) — длина волны света.

Мы знаем, что угол смещения второй дифракционной полосы равен 1 градус, поэтому можно записать:

\[ \Delta\theta = \sin^{-1}\left(\frac{1}{2}\right) \]

Теперь мы можем записать уравнение с двумя неизвестными \( y \) и \( \lambda \):

\[ y \cdot \sin(\theta) = \lambda \quad \text{и} \quad y \cdot \sin(\theta + \Delta\theta) = 2\lambda \]

Подставим выражение для \( \Delta\theta \) и решим систему уравнений:

\[ y \cdot \sin(\theta) = \lambda \quad \text{и} \quad y \cdot \sin(\theta + \sin^{-1}\left(\frac{1}{2}\right)) = 2\lambda \]

Разделим первое уравнение на второе:

\[ \frac{y \cdot \sin(\theta)}{y \cdot \sin(\theta + \sin^{-1}\left(\frac{1}{2}\right))} = \frac{\lambda}{2\lambda} \]

Упростим выражение:

\[ \frac{\sin(\theta)}{\sin(\theta + \sin^{-1}\left(\frac{1}{2}\right))} = \frac{1}{2} \]

Мы можем использовать тригонометрический тождества для раскрытия синуса суммы углов:

\[ \frac{\sin(\theta)}{\sin(\theta)\cos(\sin^{-1}\left(\frac{1}{2}\right)) + \cos(\theta)\sin(\sin^{-1}\left(\frac{1}{2}\right))} = \frac{1}{2} \]

\[ \frac{\sin(\theta)}{\sin(\theta)\cos(\sin^{-1}\left(\frac{1}{2}\right)) + \cos(\theta)\cdot\frac{1}{2}} = \frac{1}{2} \]

\[ \frac{\sin(\theta)}{\frac{1}{2}\sin(\theta) + \frac{1}{2}\cos(\theta)} = \frac{1}{2} \]

Перенесем множитель 2 в знаменатель на другую сторону:

\[ 2\sin(\theta) = \sin(\theta) + \cos(\theta) \]

\[ \sin(\theta) = \cos(\theta) \]

Используя тригонометрическое тождество \(\sin^2(\theta) + \cos^2(\theta) = 1\), получим:

\[ \sin^2(\theta) = 1 - \sin^2(\theta) \]

\[ 2\sin^2(\theta) = 1 \]

\[ \sin^2(\theta) = \frac{1}{2} \]

\[ \sin(\theta) = \pm \frac{1}{\sqrt{2}} \]

Так как мы рассматриваем только положительные углы, то

\[ \sin(\theta) = \frac{1}{\sqrt{2}} \]

Подставим этот результат обратно в уравнение \( y \cdot \sin(\theta) = \lambda \) и рассчитаем значение ширины щели:

\[ y \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} = \lambda \]

\[ y = \lambda\sqrt{2} \]

Таким образом, ширина щели будет равна длине волны света, умноженной на \(\sqrt{2}\). Мы не знаем конкретное значение длины волны света, поэтому не можем выразить точное числовое значение ширины щели. Однако, с помощью этого решения, вы сможете найти ширину щели, если будет известна длина волны света.