На каком расстоянии от корабля минимально пролетит болид, который летит со скоростью 5 км/с прямо на него навстречу

Волк

11

Чтобы решить данную задачу, нам потребуется применить принцип сохранения импульса. Давайте разобьем задачу на несколько шагов.

Шаг 1: Найдем горизонтальную и вертикальную компоненту скорости болида.

Для этого нам нужно разложить начальную скорость (\(5 \, \text{км/с}\)) на горизонтальную и вертикальную составляющие. Поскольку болид движется под углом 60° к линии, соединяющей корабль и болид, мы можем использовать тригонометрию, чтобы найти эти компоненты.

Горизонтальная скорость (\(V_x\)) болида равна: \(V_x = V \cdot \cos(\theta)\), где \(V\) - начальная скорость, а \(\theta\) - угол между направлением движения болида и горизонтальной осью. Подставляя значения: \(V_x = 5 \cdot \cos(60°) = 2,5 \, \text{км/с}\).

Вертикальная скорость (\(V_y\)) болида равна: \(V_y = V \cdot \sin(\theta)\). Подставляя значения: \(V_y = 5 \cdot \sin(60°) = 4,33 \, \text{км/с}\).

Шаг 2: Найдем время полета болида до столкновения с кораблем.

Мы знаем, что горизонтальная составляющая скорости не изменяется во время полета болида. Расстояние (\(d\)), которое болид пролетит до столкновения с кораблем, равно горизонтальной скорости (\(V_x\)) умноженной на время (\(t\)). Поэтому мы можем использовать формулу \(d = V_x \cdot t\). Для этого нам нужно найти время (\(t\)), которое потребуется болиду для достижения корабля.

Чтобы найти время (\(t\)), мы можем использовать вертикальную составляющую скорости (\(V_y\)). Корабль и болид движутся навстречу друг другу, поэтому расчет времени будет зависеть от изменения вертикальной координаты. Расстояние (\(h\)), на котором произойдет столкновение, равно вертикальной скорости (\(V_y\)) умноженной на время (\(t\)), плюс начальная вертикальная координата (\(h_0\)). Это можно записать как \(h = V_y \cdot t + h_0\).

Так как болид летит навстречу кораблю, его движение будет противоположно движению корабля, поэтому начальная вертикальная координата (\(h_0\)) равна нулю.

Таким образом, у нас есть два уравнения:
\[d = V_x \cdot t\] \[h = V_y \cdot t\]

Шаг 3: Решим систему уравнений для нахождения времени (\(t\)) и расстояния (\(d\)).

Для этого мы поделим уравнение для вертикальной координаты на уравнение для горизонтальной координаты:
\[\frac{h}{d} = \frac{V_y}{V_x}\]
\[\frac{V_y \cdot t}{V_x \cdot t} = \frac{h}{d}\]
\[\frac{V_y}{V_x} = \frac{h}{d}\]
\[\frac{4,33}{2,5} = \frac{h}{d}\]
\[1,732 = \frac{h}{d}\]

Теперь мы можем решить систему уравнений:
\[\frac{h}{d} = 1,732\]
\[h = 1,732 \cdot d\]
\[\frac{V_y \cdot t}{V_x \cdot t} = 1,732\]
\[\frac{4,33}{2,5} = 1,732\]
\[1,732 = 1,732\]

Оба уравнения равны между собой, что означает, что болид пролетит 1,732 раза большее вертикальное расстояние, чем горизонтальное расстояние.

Шаг 4: Найдем горизонтальное расстояние (\(d\)).

Мы знаем, что горизонтальное расстояние (\(d\)) можно найти, используя уравнение \(d = V_x \cdot t\). Теперь нам нужно найти время (\(t\)).

Подставим значение \(h = 1,732 \cdot d\) в уравнение для вертикальной координаты:
\[1,732 \cdot d = V_y \cdot t\]
\[1,732 \cdot d = 4,33 \cdot t\]
\[t = \frac{1,732 \cdot d}{4,33}\]

Теперь подставим это значение времени в уравнение для горизонтальной координаты:
\[d = V_x \cdot \left(\frac{1,732 \cdot d}{4,33}\right)\]
\[d = 2,5 \cdot \left(\frac{1,732}{4,33}\right) \cdot d\]
\[1 = 0,6 \cdot d\]
\[d = \frac{1}{0,6}\]
\[d \approx 1,67 \, \text{км}\]

Ответ: Болид пролетит минимальное расстояние около 1,67 км. Количество километров округляем до ближайшего целого числа, поэтому окончательный ответ: 2 км.