На каком расстоянии от начала цилиндра находится подвижный поршень внутри горизонтального, теплоизолированного

Зоя

23

Для решения этой задачи, мы можем использовать закон Бойля-Мариотта, который гласит, что при постоянной температуре, давление газа обратно пропорционально его объёму. Формула закона Бойля-Мариотта выглядит следующим образом:

\[ P_1 \cdot V_1 = P_2 \cdot V_2 \]

Где \( P_1 \) и \( P_2 \) обозначают давления газов, а \( V_1 \) и \( V_2 \) - объемы газов.

В данной задаче температура обоих газов одинакова, поэтому мы можем использовать только соотношение давлений и объемов.

Первым шагом, мы можем найти отношение объёмов газов при заданных условиях. Так как масса обоих газов одинакова, то мы можем сказать, что их молярные объемы тоже одинаковы. Молярный объём можно выразить через объём и количество вещества газа по формуле:

\[ V = \frac{{n \cdot R \cdot T}}{{P}} \]

Где \( V \) - объем газа, \( n \) - количество вещества, \( R \) - универсальная газовая постоянная, \( T \) - температура в Кельвинах, \( P \) - давление газа.

Так как молярные объемы газов одинаковы, мы можем записать:

\[ \frac{{V_1}}{{n_1}} = \frac{{V_2}}{{n_2}} \]

Поскольку количество вещества газа зависит от его массы и молярной массы, а масса обоих газов одинакова, то \( n_1 = n_2 \), и мы можем упростить формулу следующим образом:

\[ \frac{{V_1}}{{m_1}} = \frac{{V_2}}{{m_2}} \]

Где \( m_1 \) и \( m_2 \) обозначают массы газов.

Известно, что масса газа пропорциональна его плотности и объему. Поэтому мы можем записать:

\[ m_1 \cdot V_1 = m_2 \cdot V_2 \]

Теперь, подставим данные задачи в формулу и решим её шаг за шагом:

\[ m_1 \cdot V_1 = m_2 \cdot V_2 \]

Мы знаем, что \( T_1 = 127 \)°C = 400K и \( T_2 = 27 \)°C = 300K.

Из таблицы молярных масс, молярная масса кислорода \( M_1 = 32 \) г/моль, и молярная масса водорода \( M_2 = 2 \) г/моль.

Так как масса обоих газов одинакова, давление и универсальная газовая постоянная в обеих частях цилиндра также одинаковы.

Мы знаем, что давление и объём одного газа заданы, а давление и объём другого газа нам нужно найти.

Обозначим плотности кислорода и водорода как \( \rho_1 \) и \( \rho_2 \) соответственно.

Известно, что плотность равна отношению массы к объему. Поэтому:

\[ m_1 = \rho_1 \cdot V_1 \]
\[ m_2 = \rho_2 \cdot V_2 \]

Подставим эти выражения в уравнение \( m_1 \cdot V_1 = m_2 \cdot V_2 \):

\[ \rho_1 \cdot V_1^2 = \rho_2 \cdot V_2^2 \]

Теперь, выразим отношение объемов газов:

\[ \frac{{V_2}}{{V_1}} = \sqrt{\frac{{\rho_1}}{{\rho_2}}} \]

Далее, мы можем использовать формулу плотности для идеального газа:

\[ \rho = \frac{{P \cdot M}}{{R \cdot T}} \]

Где \( P \) - давление газа, \( M \) - молярная масса газа, \( R \) - универсальная газовая постоянная, \( T \) - температура в Кельвинах.

Подставим значения \( P_1 = P_2 \), \( M_1 = 32 \) г/моль и \( M_2 = 2 \) г/моль для кислорода и водорода соответственно, \( R = 8,314 \) Дж/(моль·К), \( T_1 = 400 \)K и \( T_2 = 300 \)K:

\[ \frac{{V_2}}{{V_1}} = \sqrt{\frac{{\frac{{P_1 \cdot M_1}}{{R \cdot T_1}}}}{{\frac{{P_1 \cdot M_1}}{{R \cdot T_1}}}}} \]

Упростим формулу:

\[ \frac{{V_2}}{{V_1}} = \sqrt{\frac{{\cancel{P_1 \cdot M_1} \cdot R \cdot T_1}}{{\cancel{P_1 \cdot M_1} \cdot R \cdot T_1}}} \]

\[ \frac{{V_2}}{{V_1}} = \sqrt{\frac{{T_1}}{{T_2}}} \]

Подставим значения температур:

\[ \frac{{V_2}}{{65 \, \text{см}}}= \sqrt{\frac{{400 \, \text{K}}}{{300 \, \text{K}}}} \]

\[ V_2 = 0,866 \times 65 \, \text{см} \]

Ответ: Подвижный поршень находится на расстоянии \( 0,866 \times 65 \, \text{см} \) от начала цилиндра.