На каком расстоянии от первого проводника на линии, которая соединяет провода, магнитное поле исчезает?

Арбуз

25

Магнитное поле, создаваемое током в проводнике, снижается с расстоянием от проводника. Точка, где магнитное поле полностью исчезает, находится на определенном расстоянии от проводника. Чтобы определить это расстояние, мы можем использовать закон Био-Савара-Лапласа.

Закон Био-Савара-Лапласа гласит, что магнитное поле \(\mathbf{B}\), создаваемое током \(I\) в любой точке P на расстоянии \(r\) от проводника длиной \(l\), можно вычислить следующим образом:

\[
\mathbf{B} = \frac{{\mu_0 I}}{4\pi} \int \frac{{d\mathbf{l} \times \mathbf{r}}}{{r^3}}
\]

Где \(\mu_0\) - абсолютная магнитная постоянная, равная \(4\pi \times 10^{-7} \, \text{Тл/Ам}\), \(\times\) означает векторное произведение, и \(\int\) обозначает интеграл по всей длине проводника.

Очевидно, что при максимальном расстоянии от проводника магнитное поле исчезает, поэтому наша задача - найти это расстояние. Чтобы это сделать, мы можем положить, что магнитное поле на этом расстоянии равно нулю и решить уравнение для \(r\).

\[
\frac{{\mu_0 I}}{4\pi} \int \frac{{d\mathbf{l} \times \mathbf{r}}}{{r^3}} = 0
\]

Теперь мы можем проанализировать данное уравнение. Обратите внимание, что векторное произведение \(\mathbf{d{l}} \times \mathbf{r}\) перпендикулярно вектору \(\mathbf{r}\). Таким образом, интегралу будет равен только знаковый фактор, который обозначим как \(\pm\).

Итак, поставим \(\pm\) перед интегралом:

\[
\frac{{\mu_0 I}}{4\pi} \int \frac{{\pm d\mathbf{l}}}{{r^2}} = 0
\]

Перейдем к модулю и вынесем все постоянные за знак интеграла:

\[
\frac{{\mu_0 I}}{4\pi} \left| \int \frac{{d\mathbf{l}}}{{r^2}} \right| = 0
\]

Теперь выполним интегрирование:

\[
\frac{{\mu_0 I}}{4\pi} \left| \frac{{\mathbf{l}}}{{r^2}} \right| = 0
\]

Мы видим, что интеграл становится модулем длины проводника \(l\). Теперь упростим уравнение:

\[
\frac{{\mu_0 I l}}{{4\pi r^2}} = 0
\]

Раскроем знаменатель:

\[
\mu_0 I l = 0
\]

Так как ни один из множителей не может быть равен нулю, это уравнение невозможно. Таким образом, магнитное поле никогда не исчезает полностью на каком-либо расстоянии от проводника. Магнитное поле будет снижаться с расстоянием, но оно никогда не станет равно нулю.