На каком расстоянии от первого шара надо разместить третий шар, чтобы суммарная сила притяжения его к первым двум шарам

Белка

19

Для решения этой задачи мы можем использовать закон всемирного тяготения, согласно которому сила притяжения между двумя объектами пропорциональна произведению их масс и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними.

Мы знаем, что массы первого и второго шаров равны 10 кг и 90 кг соответственно. Расстояние между ними составляет 10 метров. Пусть \(x\) будет расстоянием между первым шаром и третьим шаром.

Сила притяжения между первым и вторым шарами может быть выражена следующей формулой:
\[F_1 = G \cdot \frac{m_1 \cdot m_2}{r^2}\]
где \(G\) - гравитационная постоянная (\(6.67430 \times 10^{-11}\) Н \(\cdot\) м\(^2\) / кг\(^2\)), \(m_1\) и \(m_2\) - массы шаров, \(r\) - расстояние между ними.

Аналогично, сила притяжения между первым и третьим шарами может быть выражена следующей формулой:
\[F_2 = G \cdot \frac{m_1 \cdot m_3}{(10 + x)^2}\]
где \(m_1\) и \(m_3\) - массы шаров, а \(x\) - расстояние между первым и третьим шарами.

Так как суммарная сила притяжения равна нулю, мы можем записать уравнение:
\[F_1 + F_2 = 0\]

Подставим значения масс и расстояний в уравнение:
\[G \cdot \frac{m_1 \cdot m_2}{r^2} + G \cdot \frac{m_1 \cdot m_3}{(10 + x)^2} = 0\]

Теперь у нас есть уравнение с одной неизвестной (\(x\)). Решим его.

Сначала упростим уравнение, вынесем общий множитель:
\[G \cdot m_1 \cdot (\frac{m_2}{r^2} + \frac{m_3}{(10 + x)^2}) = 0\]

Теперь разделим обе части уравнения на \(G \cdot m_1\):
\[\frac{m_2}{r^2} + \frac{m_3}{(10 + x)^2} = 0\]

Умножим обе части уравнения на \(r^2\) и затем раскроем скобки в знаменателе второй дроби:
\[m_2 + \frac{m_3 \cdot r^2}{(10 + x)^2} = 0\]

Выразим \(x\):
\[\frac{m_3 \cdot r^2}{(10 + x)^2} = -m_2\]
\[m_3 \cdot r^2 = -m_2 \cdot (10 + x)^2\]
\[(10 + x)^2 = -\frac{m_3 \cdot r^2}{m_2}\]

Найдем квадратный корень обеих частей уравнения:
\[10 + x = \sqrt{-\frac{m_3 \cdot r^2}{m_2}}\]

Вычтем 10 из обеих частей уравнения:
\[x = \sqrt{-\frac{m_3 \cdot r^2}{m_2}} - 10\]

Теперь мы можем подставить известные значения в формулу, чтобы найти \(x\):
\[x = \sqrt{-\frac{90 \cdot 10^2}{10}} - 10\]
\[x = \sqrt{-9000} - 10\]

На данном этапе мы сталкиваемся с извлечением квадратного корня из отрицательного числа, что невозможно в рамках вещественных чисел. Это означает, что не существует такого расстояния между первым шаром и третьим шаром, при котором суммарная сила притяжения была бы равной нулю.

Таким образом, ответ на задачу - невозможно разместить третий шар на каком-либо расстоянии от первого шара, чтобы суммарная сила притяжения его к первым двум шарам была равна нулю.