На каком расстоянии от плоскости прямоугольника находится точка К, если у прямоугольника ABCD стороны равны 3 см

Milaya_4761

13

Для решения этой задачи мы можем воспользоваться теоремой Пифагора и свойством подобия прямоугольных треугольников.

Давайте начнем с построения схемы. Нарисуем прямоугольник ABCD и точку K:

      A _______ B

       |       |

       |       |

       |   K   |

       |_______|

      D         C

Длины сторон прямоугольника ABCD известны и равны 3 см и 4 см. Мы также знаем, что отрезок, соединяющий точку K с плоскостью прямоугольника, имеет одинаковые расстояния до вершин прямоугольника и его сторон.

Обозначим точки пересечения отрезка со сторонами прямоугольника как E, F, G и H:

      A _______ B

       |       |

    E  |       |  F

       |__ K __|

      D         C

       |  G  |

       |_____|

        \  H/

         \/

Используя свойства подобия треугольников, мы можем заметить, что треугольники AKE и EFB подобны и соответствующие их стороны пропорциональны. Аналогично, треугольники DKH и KCG также подобны и пропорциональны друг другу.

Давайте выразим длины отрезков KE и KH через переменную x, расстояние от точки K до плоскости прямоугольника:

KE = 3 - x
KH = 4 - x

Теперь мы можем воспользоваться теоремой Пифагора для треугольников AKE и DKH.

В треугольнике AKE:
AK^2 + KE^2 = AE^2
AK^2 + (3 - x)^2 = AE^2

В треугольнике DKH:
DK^2 + KH^2 = DH^2
DK^2 + (4 - x)^2 = DH^2

Так как отрезок AH является перпендикуляром и имеет одинаковое расстояние к вершинам, проведенным из точки K, AE должно быть равно DH:

AE = DH

Теперь мы можем сравнить формулы для треугольников AKE и DKH:

AK^2 + (3 - x)^2 = DK^2 + (4 - x)^2

Теперь мы можем решить эту уравнение для x.

AK^2 = DK^2 (по свойствам перпендикуляров)
3^2 + (3 - x)^2 = 4^2 + (4 - x)^2

9 + (9 - 6x + x^2) = 16 + (16 - 8x + x^2)
9 + 9 - 6x + x^2 = 16 + 16 - 8x + x^2
18 - 6x = 32 - 8x
2x = 14
x = 7

Таким образом, расстояние от точки K до плоскости прямоугольника составляет 7 см.

Ответ: 7 см.