На какой процент нужно увеличить температуру абсолютно черного тела, чтобы его излучаемая энергия увеличилась в 16 раз?

Вадим

5

Чтобы ответить на этот вопрос, давайте рассмотрим закон Стефана-Больцмана, который описывает зависимость мощности излучения (W) абсолютно черного тела от его температуры (T):

\[W = \sigma \cdot T^4\]

где \(\sigma\) - постоянная Стефана-Больцмана, равная \(5.67 \times 10^{-8}\, \text{Вт/(м}^2\cdot \text{К}^4)\).

Для увеличения излучаемой энергии тела в \(n\) раз, мы должны увеличить мощность излучения в \(n\) раз. То есть, у нас есть следующее соотношение:

\[W_{\text{новое}} = n \cdot W_{\text{старое}}\]

Подставим формулу для мощности излучения в это соотношение:

\[\sigma \cdot T_{\text{новое}}^4 = n \cdot \sigma \cdot T_{\text{старое}}^4\]

Теперь давайте выразим новую температуру в зависимости от старой:

\[T_{\text{новое}}^4 = n \cdot \left(\frac{{T_{\text{старое}}}}{{T_{\text{новое}}}}\right)^4\]

Для решения задачи нам нужно найти, на какой процент нужно увеличить температуру. Возьмём логарифм от обеих частей уравнения:

\[\log(T_{\text{новое}}^4) = \log(n) + 4 \cdot \log\left(\frac{{T_{\text{старое}}}}{{T_{\text{новое}}}}\right)\]

Используя свойство логарифма \(\log(a^b) = b \cdot \log(a)\), получим:

\[4 \cdot \log(T_{\text{новое}}) = \log(n) + 4 \cdot \log(T_{\text{старое}}) - 4 \cdot \log(T_{\text{новое}})\]

Перенесём все слагаемые, содержащие \(T_{\text{новое}}\), на одну сторону уравнения:

\[4 \cdot \log(T_{\text{новое}}) + 4 \cdot \log(T_{\text{новое}}) = \log(n) + 4 \cdot \log(T_{\text{старое}})\]

Упростим выражение:

\[8 \cdot \log(T_{\text{новое}}) = \log(n) + 4 \cdot \log(T_{\text{старое}})\]

Разделим обе части уравнения на 8:

\[\log(T_{\text{новое}}) = \frac{1}{8} \cdot \left(\log(n) + 4 \cdot \log(T_{\text{старое}})\right)\]

Теперь возьмём экспоненту от обеих частей уравнения:

\[T_{\text{новое}} = \exp\left(\frac{1}{8} \cdot \left(\log(n) + 4 \cdot \log(T_{\text{старое}})\right)\right)\]

И это будет новая температура абсолютно черного тела, при которой его излучаемая энергия увеличивается в \(n\) раз.

Я надеюсь, что этот подробный шаг за шагом ответ помог вам понять, как найти нужный прирост температуры. Если у вас возникнут ещё вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь задавать.