На какой угол к горизонту был брошен шарик, если его скорость имела модуль 12,6 м/с? Во сколько раз модуль импульса

Ledyanaya_Skazka

26

Для решения данной задачи мы воспользуемся законами физики. Сначала определим, каким образом скорость раскладывается на горизонтальную и вертикальную составляющие.

Известно, что модуль скорости \(v\) равен 12,6 м/с. Представим скорость в виде вектора \(\vec{v}\), который разложим на горизонтальную составляющую \(v_x\) и вертикальную составляющую \(v_y\).

Так как скорость направлена под углом \(\theta\) к горизонту, то \(v_x = v \cdot \cos\theta\) и \(v_y = v \cdot \sin\theta\).

Далее рассмотрим модуль импульса. Импульс \(p\) определяется как произведение массы тела на его скорость. В данной задаче не указана масса шарика, поэтому мы можем сократить ее и рассмотреть только модуль импульса.

Модуль импульса вычисляется как \(p = m \cdot v\), где \(m\) - масса шарика, а \(v\) - его скорость.

Возьмем две точки на траектории полета шарика: точку броска и точку верхней траектории. Пусть в точке броска модуль импульса шарика равен \(p_1\), а в точке верхней траектории - \(p_2\).

Теперь вычислим разницу между этими модулями импульсов: \(\Delta p = p_2 - p_1\).

Разницу можно также записать в виде \(\Delta p = m \cdot v_2 - m \cdot v_1\).

Раскладывая скорости векторов \(\vec{v_1}\) и \(\vec{v_2}\) на горизонтальные и вертикальные составляющие, получим:

\[
\Delta p = m \cdot \left(v_{2x} - v_{1x}\right) + m \cdot \left(v_{2y} - v_{1y}\right)
\]

Применяя формулы для разложения скоростей, получаем:

\[
\Delta p = m \cdot \left(v \cdot \cos\theta_{2} - v \cdot \cos\theta_{1}\right) + m \cdot \left(v \cdot \sin\theta_{2} - v \cdot \sin\theta_{1}\right)
\]

Учитывая, что в точке верхней траектории вертикальная скорость равна нулю (\(v_{2y} = 0\)), получаем:

\[
\Delta p = m \cdot \left(v \cdot \cos\theta_{2} - v \cdot \cos\theta_{1}\right) + m \cdot \left(0 - v \cdot \sin\theta_{1}\right)
\]

Сократим массу шарика и фактор \(v\):

\[
\Delta p = v \cdot \left(\cos\theta_{2} - \cos\theta_{1}\right) - v \cdot \sin\theta_{1}
\]

Из условия задачи известно, что модуль скорости \(v = 12,6\) м/с. Подставим данные в формулу:

\[
\Delta p = 12,6 \cdot \left(\cos\theta_{2} - \cos\theta_{1}\right) - 12,6 \cdot \sin\theta_{1}
\]

Теперь решим задачу. Для начала нам необходимо найти углы \(\theta_{1}\) и \(\theta_{2}\) в радианах.

Если скорость направлена под углом к горизонту, то угол \(\theta\) можно найти с помощью формулы \(\theta = \arctan\left(\frac{{v_y}}{{v_x}}\right)\).

Подставим значения в формулу:

\[
\theta_{1} = \arctan\left(\frac{{v_{1y}}}{{v_{1x}}}\right) = \arctan\left(\frac{{v \cdot \sin\theta_{1}}}{{v \cdot \cos\theta_{1}}}\right) = \arctan\left(\frac{{\sin\theta_{1}}}{{\cos\theta_{1}}}\right)
\]

Угол \(\theta_{1}\) можно найти, используя обратные функции тригонометрии. Ответ округляем до тысячных.

Повторим эту процедуру для угла \(\theta_{2}\):

\[
\theta_{2} = \arctan\left(\frac{{v_{2y}}}{{v_{2x}}}\right) = \arctan\left(\frac{{0}}{{v \cdot \cos\theta_{2}}}\right) = \arctan(0)
\]

Так как \(\arctan(0) = 0\), то \(\theta_{2} = 0\).

Подставим значения углов \(\theta_{1}\) и \(\theta_{2}\) в формулу для разницы импульсов:

\[
\Delta p = 12,6 \cdot \left(\cos\theta_{2} - \cos\theta_{1}\right) - 12,6 \cdot \sin\theta_{1}
\]

С учетом того, что \(\cos(0) = 1\) и \(\sin(0) = 0\), получаем:

\[
\Delta p = 12,6 \cdot (1 - \cos\theta_{1})
\]

Ответ округляем до тысячных. Найденный результат будет выражать, во сколько раз модуль импульса шарика при броске больше модуля импульса шарика в точке верхней траектории.