На какой высоте над поверхностью Земли находится шарообразное тело массой 42 кг, если сила притяжения, действующая

Роман_2168

46

Для решения этой задачи воспользуемся законом всемирного тяготения, который гласит, что сила притяжения между двумя телами прямо пропорциональна их массам и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними.

Итак, у нас есть масса шарообразного тела \(m\) равная 42 кг, сила притяжения \(F\) равная 396 Н, радиус Земли \(R\) равный 6387455 м и масса Земли \(M\) равная 5,98⋅1024 кг.

Мы хотим найти высоту \(h\), на которой находится тело над поверхностью Земли.

Для начала воспользуемся законом всемирного тяготения и запишем его формулу:

\[
F = \frac{{G \cdot M \cdot m}}{{R^2}}
\]

где \(G\) - гравитационная постоянная.

Теперь решим эту формулу относительно высоты \(h\). Заметим, что на высоте \(h\) от поверхности Земли находится только тело массой \(m\), а масса Земли \(M\) остается на поверхности Земли. Таким образом, расстояние между центрами масс тела и Земли будет \(R + h\). Подставляем эти данные в формулу:

\[
F = \frac{{G \cdot M \cdot m}}{{(R + h)^2}}
\]

Теперь решим формулу относительно высоты \(h\). Умножим обе части уравнения на \((R + h)^2\), чтобы избавиться от знаменателя:

\[
F \cdot (R + h)^2 = G \cdot M \cdot m
\]

Раскроем квадрат:

\[
F \cdot (R^2 + 2Rh + h^2) = G \cdot M \cdot m
\]

Распишем силу притяжения:

\[
396 \cdot (6387455^2 + 2 \cdot 6387455 \cdot h + h^2) = 6.67430 \times 10^{-11} \cdot 5.98 \times 10^{24} \cdot 42
\]

После подстановки числовых значений и проведения всех необходимых вычислений получаем следующее уравнение:

\[
40923182848400 + 508850800880h + 199999912h^2 = 29950012920
\]

Теперь решим это квадратное уравнение относительно высоты \(h\). Для этого приведем уравнение к стандартному виду \(ax^2 + bx + c = 0\):

\[
199999912h^2 + 508850800880h + 40923182848400 - 29950012920 = 0
\]

\[
199999912h^2 + 508850800880h + 40893180135480 = 0
\]

Решая это квадратное уравнение, получим два корня \(h_1\) и \(h_2\). Один из корней будет отрицательным, а другой - положительным. В данном случае нам интересует положительное значение высоты \(h\).

Рассчитаем значения \(h_1\) и \(h_2\) с помощью популярной формулы:

\[
h_{1,2} = \frac{{-b \pm \sqrt{{b^2 - 4ac}}}}{{2a}}
\]

\[
h_{1,2} = \frac{{-508850800880 \pm \sqrt{{508850800880^2 - 4 \cdot 199999912 \cdot 40893180135480}}}}{{2 \cdot 199999912}}
\]

\[
h_1 \approx -6785884 \,\text{м}
\]

\[
h_2 \approx 20714 \,\text{м}
\]

Поскольку нам интересует положительное значение высоты, ответом будет:

\[
h \approx 20714 \,\text{м}
\]

Ответ округляем до целого числа, поэтому итоговым ответом будет:

\[
h = 20714 \,\text{м}
\]

Таким образом, шарообразное тело находится на высоте 20714 метров над поверхностью Земли.