The wheel with a radius of 15 cm moved along a flat road in a uniform motion with slipping. The angular velocity
The wheel with a radius of 15 cm moved along a flat road in a uniform motion with slipping. The angular velocity of the wheel remained constant. The axis of the wheel shifted a distance of 2 m, during which the wheel made 5 complete revolutions. Let v1 and v2 be the magnitudes of the velocities of the upper and lower points of the wheel, respectively, where v1 > v2. Find the ratio v1/v2. Round your answer to the nearest tenth.
Мышка 26
Дано: радиус колеса \(r = 15\) см, перемещение оси колеса \(s = 2\) м, число полных оборотов колеса \(n = 5\).Мы знаем, что периферийная скорость колеса \(v = \omega \cdot r\), где \(v\) - скорость точки на окружности колеса, \(\omega\) - угловая скорость колеса, а \(r\) - радиус колеса.
Также мы знаем, что угловая скорость колеса остается постоянной, поэтому \(\omega = \text{const}\).
Периметр колеса равен \(2\pi r\) и соответствует одному полному обороту колеса.
Тогда расстояние, пройденное колесом, равно \(s = n \cdot 2\pi r\).
Для того чтобы определить отношение скоростей \(v_1\) и \(v_2\), нам нужно знать, как изменяется расстояние по вертикали между точками \(v_1\) и \(v_2\), когда колесо сдвигается на расстояние \(s\).
Поскольку колесо скользит, опорная точка внизу колеса не изменяет своего положения, а точка вверху сдвигается на расстояние \(s\) вдоль окружности колеса.
Тогда разность между вертикальными координатами точек \(v_1\) и \(v_2\) будет равна \(\Delta h = 2\pi r \cdot \frac{v_2}{\omega}\).
Таким образом, мы имеем уравнение:
\(\Delta h = 2\pi r \cdot \frac{v_2}{\omega}\)
Также известно, что разность вертикальных координат точек \(v_1\) и \(v_2\) равна \(\Delta h = s\), так как ось колеса сдвинулась на расстояние \(s\).
Теперь найдем отношение скоростей \(v_1/v_2\).
Подставим выражение для \(\Delta h\) в уравнение и решим его:
\[s = 2\pi r \cdot \frac{v_2}{\omega}\]
\[2 = \frac{2\pi \cdot 15 \cdot v_2}{\omega}\]
\[\omega = \frac{2\pi \cdot 15 \cdot v_2}{2}\]
Подставим это выражение для \(\omega\) в уравнение:
\[s = 2\pi r \cdot \frac{v_2}{\frac{2\pi \cdot 15 \cdot v_2}{2}}\]
Упростим:
\[s = \frac{v_2}{v_2}\]
\[s = 2\]
Теперь найдем отношение скоростей:
\[\frac{v_1}{v_2} = \frac{2s\pi r}{s\omega} = \frac{2 \cdot 2 \cdot \pi \cdot 15}{2 \cdot \omega}\]
\[= \frac{4 \cdot 15 \cdot \pi}{\omega}\]
Заметим, что \(\omega\) - это угловая скорость колеса, которая остается постоянной.
Поэтому отношение скоростей \(v_1/v_2\) будет зависеть только от радиуса колеса \(r\).
Вычисляя значения, получим:
\[\frac{v_1}{v_2} \approx 94.25\]
Таким образом, отношение скоростей \(v_1/v_2\) равно приблизительно 94.3.