На какой высоте над землей должен начаться падение кусочка льда при температуре -20 градусов, чтобы к моменту удара

Васька

58

Для решения этой задачи, нам понадобится использовать закон сохранения энергии.

Первым шагом определим, какая формула нам поможет решить задачу. В данном случае у нас есть кинетическая энергия и внутренняя энергия. Закон сохранения энергии гласит, что сумма кинетической и потенциальной энергий тела на любой высоте остается постоянной.

Таким образом, мы можем записать следующее уравнение:
\[E_{\text{кин}} + E_{\text{пот}} = E_{\text{внутр}}\]

Где:
\(E_{\text{кин}}\) - кинетическая энергия кусочка льда,
\(E_{\text{пот}}\) - потенциальная энергия кусочка льда,
\(E_{\text{внутр}}\) - внутренняя энергия кусочка льда.

Теперь разберемся с каждой составляющей уравнения. Кинетическая энергия вычисляется с помощью следующей формулы:
\[E_{\text{кин}} = \frac{1}{2}m{v}^2\]

Где:
\(m\) - масса кусочка льда,
\(v\) - скорость кусочка льда перед ударом.

Из условия задачи, мы знаем, что 50% кинетической энергии льда превращается во внутреннюю энергию. Следовательно, внутренняя энергия равна половине кинетической энергии:
\[E_{\text{внутр}} = \frac{1}{2}E_{\text{кин}}\]

Значение потенциальной энергии на разных высотах задается формулой:
\[E_{\text{пот}} = mgh\]

Где:
\(g\) - ускорение свободного падения (приближенно равно 9.8 м/с\(^2\)),
\(h\) - высота над землей.

Теперь подставим эти формулы в наше уравнение сохранения энергии:
\[\frac{1}{2}m{v}^2 + mgh = \frac{1}{2}(\frac{1}{2}m{v}^2)\]

Сократим общие множители:
\(m{v}^2 + 2mgh = \frac{1}{4}m{v}^2\)

Перенесем все члены уравнения на одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:
\(m{v}^2 - \frac{1}{4}m{v}^2 + 2mgh = 0\)

Упростим уравнение:
\(\frac{3}{4}m{v}^2 + 2mgh = 0\)

Теперь введем известные значения:
Мы знаем, что плотность льда примерно равна 917 кг/м\(^3\), поэтому массу \(m\) можно выразить через объем \(V\) с помощью формулы \(m = \rho V\), где \(\rho\) - плотность льда.

Также у нас есть температура льда, которая равна -20 градусов Цельсия. Мы можем использовать формулу \(Q = mc\Delta T\) для вычисления количества тепла \(Q\), которое нужно передать льду, чтобы оно полностью расплавилось. Здесь \(m\) - масса льда, \(c\) - удельная теплоемкость льда, \(\Delta T\) - изменение температуры льда.

Используя известные формулы:
\(\rho = 917 \, \text{кг/м}^3\) - плотность льда,
\(A\) - площадь поперечного сечения льда,
\(h\) - высота над землей.
Так как задача имеет одно решение, то объем массы льда равен объему пластинки.
Массу льда можно выразить через плотность и объем: \(m = \rho V = \rho A h\)

Также по условию задачи, чтобы лед полностью расплавился, необходимо, чтобы все переданное ему количество тепла превратилось во внутреннюю энергию:
\(Q = E_{\text{внутр}}\)

Оставшиеся в уравнении величины: удельная теплоемкость льда \(c\), изменение температуры льда \(\Delta T\), скорость льда перед ударом \(v\), площадь поперечного сечения льда \(A\) - легко находятся в таблицах.

Теперь пошагово решим нашу задачу:

Шаг 1: Воспользуемся формулой \(m = \rho A h\) для нахождения массы льда.
\(\rho = 917 \, \text{кг/м}^3\) - плотность льда,
\(A\) - площадь поперечного сечения льда,
\(h\) - высота над землей.

Шаг 2: Узнаем значения удельной теплоемкости льда \(c\) и изменения температуры льда \(\Delta T\) в таблицах.

Шаг 3: Рассчитаем количество тепла, необходимое для полного расплавления льда: \(Q = mc\Delta T\), где \(m\) - масса льда, \(c\) - удельная теплоемкость льда, \(\Delta T\) - изменение температуры льда.

Шаг 4: Зная количество переданного льду тепла \(Q\), и учитывая, что 50% кинетической энергии превращается во внутреннюю энергию \(E_{\text{внутр}} = \frac{1}{2}E_{\text{кин}}\), мы можем записать уравнение сохранения энергии:
\(\frac{1}{2}m{v}^2 + mgh = \frac{1}{2}Q\)

Шаг 5: Подставим значения из шага 1 в выражение для массы льда: \(m = \rho A h\)

Шаг 6: Подставим значения из шага 5 в уравнение сохранения энергии и решим его относительно высоты \(h\).

Применяя все эти шаги, мы сможем найти высоту, на которой должно начаться падение кусочка льда, чтобы он полностью расплавился к моменту удара о землю при температуре -20 градусов.