На какой высоте находится шарообразное тело массой 76 кг, когда сила гравитации, действующая на него, равна

Kosmicheskaya_Panda

7

Чтобы решить данную задачу, мы воспользуемся законом тяготения Ньютона, который гласит:

\[F = \frac{{G \cdot m_1 \cdot m_2}}{{r^2}}\]

где F - сила гравитации между двумя объектами, G - гравитационная постоянная, \(m_1\) и \(m_2\) - массы этих объектов, а r - расстояние между ними.

Задача требует найти расстояние от центра Земли до шарообразного тела, поэтому \(r\) будет равно сумме радиуса Земли и высоты, на которой находится тело. Обозначим эту высоту через \(h\). Тогда расстояние \(r\) будет равно \(6376400 + h\).

Мы знаем массу шарообразного тела и силу гравитации, действующую на него, поэтому мы можем заменить \(F\) и \(m_2\) в уравнении:

\[650 = \frac{{G \cdot m_1 \cdot m_2}}{{r^2}}\]

Теперь мы можем решить это уравнение относительно высоты \(h\).

Давайте подставим известные значения и решим уравнение:

\[650 = \frac{{G \cdot m_1 \cdot m_2}}{{(6376400 + h)^2}}\]

Радиус Земли \(R = 6376400\) м.

Масса Земли \(M = 6 \times 10^{24}\) кг.

Масса шарообразного тела \(m_1 = 76\) кг.

Гравитационная постоянная \(G = 6.67430 \times 10^{-11}\) м\(^3\)/(кг \cdot с\(^2\)).

Подставим значения:

\[650 = \frac{{(6.67430 \times 10^{-11}) \cdot (76) \cdot (6 \times 10^{24})}}{{(6376400 + h)^2}}\]

Теперь упростим уравнение:

\[650 = \frac{{3.5923268 \times 10^{14}}}{{(6376400 + h)^2}}\]

Избавимся от дроби, умножив обе части уравнения на \((6376400 + h)^2\):

\[650 \cdot (6376400 + h)^2 = 3.5923268 \times 10^{14}\]

Раскроем скобки:

\[4141960^2 + 1277.28 \times 10^7h + h^2 = 3.5923268 \times 10^{14}\]

Упростим уравнение:

\[17093256521600 + 1277.28 \times 10^7h + h^2 = 3.5923268 \times 10^{14}\]

Перенесем все члены в одну сторону:

\[h^2 + 1277.28 \times 10^7h + 3.5923268 \times 10^{14} - 17093256521600 = 0\]

Теперь это квадратное уравнение, которое мы можем решить с помощью квадратного корня или формулы дискриминанта. Решим его:

\[h = \frac{{-b \pm \sqrt{{b^2 - 4ac}}}}{{2a}}\]

где \(a = 1\), \(b = 1277.28 \times 10^7\), \(c = 3.5923268 \times 10^{14} - 17093256521600\).

Подставим значения:

\[h = \frac{{-(1277.28 \times 10^7) \pm \sqrt{{(1277.28 \times 10^7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (3.5923268 \times 10^{14} - 17093256521600)}}}}{{2 \cdot 1}}\]

Продолжим вычисления:

\[h = \frac{{-1277.28 \times 10^7 \pm \sqrt{{(1277.28 \times 10^7)^2 - (4 \cdot (3.5923268 \times 10^{14} - 17093256521600))}}}}{{2}}\]

Дальше нам необходимо вычислить значение под корнем:

\((1277.28 \times 10^7)^2 - (4 \cdot (3.5923268 \times 10^{14} - 17093256521600))\)

\(\approx 4.24705256 \times 10^{17}\)

Теперь мы можем продолжить вычисления выражения для \(h\):

\[h = \frac{{-1277.28 \times 10^7 \pm \sqrt{{4.24705256 \times 10^{17}}}}}{{2}}\]

Подставим это значение в калькулятор и произведем вычисления:

\[h \approx -6376286.06 \, \text{м} \quad \text{или} \quad h \approx 5748.06 \, \text{м}\]

Наши вычисления показывают два возможных значения высоты, на которой находится шарообразное тело: около -6376286.06 м и около 5748.06 м. Отрицательное значение означает, что тело находится под поверхностью Земли, что не имеет смысла в данном контексте. Таким образом, высота шарообразного тела составляет около 5748.06 м над поверхностью Земли.