На какую цифру заканчивается число A=2^2022+3^2022+7^2021?

Котэ

6

Хорошо! Для решения этой задачи мы можем использовать свойства остатка от деления на 10.

Изначально нам нужно найти последние цифры чисел \(2^{2022}\), \(3^{2022}\) и \(7^{2021}\). Давайте начнем с вычисления каждого из этих чисел.

При вычислении остатка от деления на 10 мы можем проигнорировать все цифры числа, кроме последней. То есть, чтобы найти последнюю цифру числа, нам нужно возвести его в соответствующую степень и найти остаток от деления полученного числа на 10.

1) Вычислим последнюю цифру числа \(2^{2022}\):

Мы знаем, что последняя цифра числа 2 возможна только 2 или 8. Если мы посмотрим на последовательность степеней числа 2 (2, 4, 8, 6), увидим, что она повторяется каждые четыре степени. Таким образом, чтобы найти последнюю цифру числа \(2^{2022}\), нам нужно разделить показатель степени (2022) на 4 и использовать остаток от деления.

\[
2022 \div 4 = 505
\]

Остаток от деления равен 2. Значит, последняя цифра числа \(2^{2022}\) равна последней цифре в последовательности (2, 4, 8, 6), которая находится на позиции 2, а это 4.

2) Теперь вычислим последнюю цифру числа \(3^{2022}\):

Аналогично с предыдущим примером, мы знаем, что последняя цифра числа 3 также может быть только 3, 9, 7 или 1. Если мы посмотрим на последовательность степеней числа 3 (3, 9, 7, 1), увидим, что она повторяется каждые четыре степени. Разделив показатель степени (2022) на 4 и найдя остаток от деления, мы можем найти последнюю цифру числа \(3^{2022}\).

\[
2022 \div 4 = 505
\]

Остаток от деления также равен 2. Значит, последняя цифра числа \(3^{2022}\) равна последней цифре в последовательности (3, 9, 7, 1), которая находится на позиции 2, а это 9.

3) Наконец, вычислим последнюю цифру числа \(7^{2021}\):

Аналогично предыдущим примерам, мы знаем, что последняя цифра числа 7 может быть только 7, 9, 3 или 1. Посмотрев на последовательность степеней числа 7 (7, 9, 3, 1), которая повторяется каждые четыре степени, мы можем найти последнюю цифру числа \(7^{2021}\), разделив показатель степени (2021) на 4 и найдя остаток от деления.

\[
2021 \div 4 = 505
\]

Остаток от деления равен 1. Значит, последняя цифра числа \(7^{2021}\) равна последней цифре в последовательности (7, 9, 3, 1), которая находится на позиции 1, а это 7.

Теперь, когда у нас есть последние цифры каждого из этих чисел, мы можем сложить их:

\[4 + 9 + 7 = 20\]

Последняя цифра полученной суммы равна 0, следовательно, число \(A = 2^{2022} + 3^{2022} + 7^{2021}\) заканчивается на цифру 0.