На какую величину и во сколько раз изменится период колебаний пружинного маятника при замене шарика на пружине другим

Магнитный_Ловец_7078

52

Чтобы найти изменение периода колебаний пружинного маятника при замене шарика на пружине другим шариком, у которого радиус вдвое больше, мы можем использовать формулу для периода колебаний пружинного маятника, которая выглядит так:

\[ T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}} \]

где \( T \) - период колебаний, \( m \) - масса шарика, \( k \) - жесткость пружины.

Для того чтобы найти изменение периода колебаний при замене шарика, рассмотрим как изменяется масса и жесткость пружины.

1. Масса шарика:
Нам дано, что у нового шарика радиус вдвое больше, а масса шарика зависит от его объема, который пропорционален кубу радиуса. Таким образом, если радиус нового шара вдвое больше, то его объем будет восемь раз больше (2 в кубе).
Пусть масса исходного шарика равна \( m_1 \), а масса нового шарика равна \( m_2 \).
Тогда отношение масс нового и исходного шариков будет:
\[ \frac{m_2}{m_1} = \frac{8V_2}{V_1} = \frac{8}{1} = 8 \]

2. Жесткость пружины:
Жесткость пружины зависит от ее упругости и геометрических параметров. По формуле Хука, сила, действующая на пружину, пропорциональна удлинению или сжатию пружины. Мы не меняем материал пружины и ее длину, поэтому считаем, что ее упругость и длина остаются постоянными.
Пусть жесткость исходной пружины равна \( k_1 \), а жесткость новой пружины равна \( k_2 \).
Так как мы не меняем материал и длину пружины, отношение жесткостей новой и исходной пружины будет:
\[ \frac{k_2}{k_1} = \frac{1}{1} = 1 \]

Теперь мы можем выразить изменение периода колебаний, используя полученные отношения:

\[ \frac{T_2}{T_1} = \frac{\sqrt{\frac{m_2}{k_2}}}{\sqrt{\frac{m_1}{k_1}}} = \sqrt{\frac{m_2 \cdot k_1}{m_1 \cdot k_2}} = \sqrt{\frac{8 \cdot 1}{1 \cdot 1}} = \sqrt{8} \]

Таким образом, период колебаний пружинного маятника изменится в \(\sqrt{8}\) раз при замене шарика на пружине другим шариком, у которого радиус вдвое больше.