На какую величину необходимо увеличить температуру, чтобы жидкость начала вытекать из сосуда, если его площадь сечения

Elena_3216

32

Чтобы решить эту задачу, нам потребуется использовать принцип Архимеда и различные физические законы.

В первую очередь, давайте рассмотрим, какую силу давит на жидкость горлышко сосуда. Сила давления на горлышко сосуда можно выразить следующей формулой:

\[F = P \cdot S\]

где \(F\) - сила давления на горлышко сосуда, \(P\) - давление на горлышко сосуда и \(S\) - площадь горлышка сосуда.

Следующим шагом будет вычисление давления на горлышко сосуда.

\[P = P_{\text{атм}} + P_{\text{ст}}\]

где \(P_{\text{атм}}\) - атмосферное давление, \(P_{\text{ст}}\) - гидростатическое давление.

Атмосферное давление обычно принимается равным 101325 Па. Гидростатическое давление можно вычислить, используя следующую формулу:

\[P_{\text{ст}} = \rho \cdot g \cdot h\]

где \(\rho\) - плотность жидкости, \(g\) - ускорение свободного падения, \(h\) - глубина погружения горлышка сосуда.

Теперь, учитывая вычисленное давление на горлышко сосуда, мы можем найти силу давления:

\[F = (P_{\text{атм}} + \rho \cdot g \cdot h) \cdot S\]

Согласно принципу Архимеда, сила, действующая на жидкость, равна силе давления. Для того чтобы жидкость начала вытекать из сосуда, сила гравитации, действующая на жидкость, должна превзойти силу давления. Формула для силы тяжести:

\[F_{\text{тяж}} = m \cdot g\]

где \(F_{\text{тяж}}\) - сила тяжести, \(m\) - масса жидкости.

Теперь мы можем написать уравнение, уравновешивающее силу тяжести и силу давления:

\[F_{\text{тяж}} = F\]

\[m \cdot g = (P_{\text{атм}} + \rho \cdot g \cdot h) \cdot S\]

Известно, что масса равна плотности жидкости умноженной на её объем:

\[m = \rho \cdot V\]

Таким образом, мы можем переписать уравнение:

\(\rho \cdot V \cdot g = (P_{\text{атм}} + \rho \cdot g \cdot h) \cdot S\)

Учитывая, что объем равен площади сечения умноженной на расстояние, на которое опустился горлышко сосуда, и что плотность выражается через объем и массу, мы можем записать:

\(\rho \cdot S \cdot \delta l \cdot g = (P_{\text{атм}} + \rho \cdot g \cdot h) \cdot S\)

Отсюда можно выразить глубину погружения горлышка сосуда:

\(h = \frac{{\rho \cdot \delta l \cdot g}}{{\rho \cdot g}} - \frac{{P_{\text{атм}}}}{{\rho \cdot g}}\)

Учитывая, что плотность жидкости можно записать через объемную массу и объем, и подставляя известные значения, мы получаем:

\(h = \frac{{\delta l}}{{1 - \beta \cdot \delta l}} - \frac{{P_{\text{атм}}}}{{\rho \cdot g}}\)

Теперь мы можем найти требуемую величину увеличения температуры. Используя формулу объемного расширения жидкости:

\(\beta = \frac{{\Delta V}}{{V_0 \cdot \Delta T}}\)

где \(\Delta V\) - изменение объема, \(V_0\) - исходный объем, \(\Delta T\) - изменение температуры, мы можем переписать уравнение следующим образом:

\(\Delta T = \frac{{\Delta V}}{{\beta \cdot V_0}}\)

Теперь мы можем найти требуемую величину увеличения температуры, подставив значения в формулу:

\(\Delta T = \frac{{\frac{{\delta l}}{{1 - \beta \cdot \delta l}} - \frac{{P_{\text{атм}}}}{{\rho \cdot g}}}}{{\beta \cdot V_0}}\)

Подставляя известные значения, включая \(\delta l = 13,8\) мм, \(V_0 = 400\) мм\(^3\), \(P_{\text{атм}} = 101325\) Па, \(\rho = 1000\) кг/м\(^3\), \(g = 9,8\) м/с\(^2\), и \(\beta = 0,51\), мы можем рассчитать требуемое увеличение температуры.

\[ \Delta T = \frac{{\frac{{0,0138}}{{1 - 0,51 \cdot 0,0138}} - \frac{{101325}}{{1000 \cdot 9,8}}}}{{0,51 \cdot 0,0004}} \]

[Вычислительный блок]