На какую высоту h нужно опустить точку крепления стержней О, чтобы угол между ними был равен 90 градусам?

Сумасшедший_Рейнджер

69

Чтобы решить данную задачу, давайте представим следующую ситуацию.

У нас есть два стержня \(OA\) и \(OB\), которые имеют точку крепления в точке \(O\). Нам необходимо опустить точку \(H\) таким образом, чтобы угол между стержнями \(OA\) и \(OB\) стал равен 90 градусам.

Начнем с построения данной ситуации. Построим отрезок \(AB\) такой, что \(OA\) и \(OB\) будут являться его продолжениями. Затем построим окружность с центром в точке \(O\) и радиусом \(r\), где \(r\) - это расстояние от точки \(H\) до точки \(O\).

Далее, проведем перпендикуляр \(PH\) к отрезку \(AB\) из точки \(H\). Это можно сделать, используя циркуль и линейку. Пусть точка пересечения перпендикуляра \(PH\) и отрезка \(AB\) будет обозначаться как точка \(P\).

После проведения данных построений, получится треугольник \(OPH\). Мы знаем, что в прямоугольном треугольнике углы сумма которых равна 90 градусов. Таким образом, угол \(\angle HOP\) равен 90 градусам.

Теперь, чтобы найти высоту \(h\), можно использовать теорему Пифагора для прямоугольного треугольника \(OPH\).

Теорема Пифагора гласит, что сумма квадратов катетов прямоугольного треугольника равна квадрату его гипотенузы.

В данном случае, катетами являются отрезки \(OH\) и \(PH\), а гипотенузой - отрезок \(OP\).

По теореме Пифагора, у нас есть следующее уравнение:

\[
OH^2 + PH^2 = OP^2
\]

Так как угол \(\angle HOP\) равен 90 градусам, то отрезок \(OP\) равен гипотенузе прямоугольного треугольника. Пусть длина отрезка \(OH\) равна \(h\), тогда длина отрезка \(OP\) будет также равна \(h\).

Заменим в уравнении значения:

\[
h^2 + PH^2 = h^2
\]

Вычитая \(h^2\) из обоих частей уравнения, получим:

\[
PH^2 = 0
\]

Таким образом, получается, что длина отрезка \(PH\) равна нулю.

Мы получили, что точки \(P\) и \(H\) являются совпадающими, то есть точка крепления стержней \(O\) должна совпадать с точкой опускания \(H\), чтобы угол между стержнями \(OA\) и \(OB\) был равен 90 градусам.

Таким образом, ответ на задачу - точка крепления стержней \(O\) должна совпадать с точкой опускания \(H\).