На какую высоту свободно падает абсолютно упругое тело с горизонтальной поверхности, если его период колебаний

Валентин

3

Для решения данной задачи мы можем использовать законы сохранения механической энергии. Поскольку потери механической энергии и время соударения пренебрежимо малы, энергия исходной кинетической энергии превращается в потенциальную энергию на максимальной высоте.

Запишем соотношение сохранения энергии:
\(E_{\text{кин}} = E_{\text{пот}}\)
\(mgh = \frac{1}{2} kx^2\)

Где:
\(m\) - масса тела,
\(g\) - ускорение свободного падения,
\(h\) - высота падения,
\(k\) - коэффициент упругости,
\(x\) - смещение тела от положения равновесия при колебаниях.

Мы знаем, что период колебаний \(T\) может быть выражен через \(k\) и \(m\) следующим образом:
\(T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}\)

Так как мы применяем ускорение свободного падения \(g\) вместо \(k\), можем выразить \(k\) через \(g\) и \(m\) следующим образом:
\(k = mg\)

Подставим это значение \(k\) в уравнение сохранения энергии:
\(mgh = \frac{1}{2} (mg)x^2\)

Отсюда:
\(h = \frac{1}{2} x^2\)

Поскольку в условии сказано, что время соударения пренебрежимо мало, мы можем сделать вывод, что тело достигнет максимальной высоты, когда его кинетическая энергия обратится в нуль. То есть, когда \(x = 0\). Следовательно, мы можем утверждать, что \(h = 0\).

Таким образом, тело свободно падает на высоту равную нулю. Ответ округляем до сотых: \(h = 0.00\) метров.