На крыше здания установлен миномет под углом α=42∘ к горизонту. Высота здания составляет h=40 м, а начальная скорость

Светлячок_В_Лесу

37

Для решения данной задачи нам понадобятся законы движения тела брошенного под углом к горизонту без учета сопротивления воздуха.

Первым шагом необходимо определить горизонтальную и вертикальную составляющую начальной скорости мины.

Горизонтальная составляющая начальной скорости \(v_{0x}\) всегда остается постоянной во время полета тела и равна:

\[v_{0x} = v_0 \cdot \cos(\alpha)\]

Теперь мы можем определить время полета мины. Для этого воспользуемся вертикальной составляющей начальной скорости \(v_{0y}\) и высотой здания \(h\).

Вертикальная составляющая начальной скорости \(v_{0y}\) выражается следующей формулой:

\[v_{0y} = v_0 \cdot \sin(\alpha)\]

Зная вертикальную составляющую начальной скорости и ускорение свободного падения, мы можем определить время, за которое мина достигнет высоты здания \(h\).

Используем формулу для свободного падения:

\[h = v_{0y} \cdot t - \frac{1}{2} \cdot g \cdot t^2\]

где \(t\) - время полета мины.

Подставим известные значения в эту формулу:

\[h = (v_0 \cdot \sin(\alpha)) \cdot t - \frac{1}{2} \cdot g \cdot t^2\]

Осталось решить это квадратное уравнение для \(t\). После этого получим время полета мины \(\tau\).

\[0 = -\frac{1}{2} \cdot g \cdot t^2 + (v_0 \cdot \sin(\alpha)) \cdot t - h\]

Применим квадратное уравнение:

\[t = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\]

Где:

\[a = -\frac{1}{2} \cdot g\]
\[b = v_0 \cdot \sin(\alpha)\]
\[c = -h\]

Подставим значения \(a\), \(b\) и \(c\) и найдем время полета мины:

\[t = \frac{-(v_0 \cdot \sin(\alpha)) \pm \sqrt{(v_0 \cdot \sin(\alpha))^2 - 4 \cdot (-\frac{1}{2} \cdot g) \cdot (-h)}}{2 \cdot (-\frac{1}{2} \cdot g)}\]

Далее нам необходимо выбрать положительное значение \(t\), так как время не может быть отрицательным.

Таким образом, время полета мины \(\tau\) равно:

\[\tau = \frac{-(v_0 \cdot \sin(\alpha)) + \sqrt{(v_0 \cdot \sin(\alpha))^2 - 4 \cdot (-\frac{1}{2} \cdot g) \cdot (-h)}}{2 \cdot (-\frac{1}{2} \cdot g)}\]

Подставляя известные значения, получим окончательный ответ.

\(\tau = \frac{-(59 \cdot \sin(42^\circ)) + \sqrt{(59 \cdot \sin(42^\circ))^2 - 4 \cdot (-\frac{1}{2} \cdot 9.8) \cdot (-40)}}{2 \cdot (-\frac{1}{2} \cdot 9.8)}\)