На окружности, которая имеет диаметр MN со значением 34, выбрана точка K, которая находится на расстоянии 15 от этого
На окружности, которая имеет диаметр MN со значением 34, выбрана точка K, которая находится на расстоянии 15 от этого диаметра. Хорда KE пересекает диаметр MN в точке F под углом, равным арккосинусу 4/5. а) Докажите, что отношение KF:FE равно 125:29. б) Найдите площадь треугольника.
София 18
Давайте решим данную задачу шаг за шагом.а) Рассмотрим треугольник KFE. По условию, угол KFE равен арккосинусу (4/5). Обозначим этот угол как α.
Так как прямой угол, образованный диаметром MN и хордой KE, равен 90 градусам, угол KMF также равен 90 градусам.
Тогда угол KME можно выразить как сумма углов KMF и FME, то есть:
Угол KME = угол KMF + угол FME = 90° + α
Также, поскольку диаметр делит хорду пополам, отрезки KF и FE равны между собой.
По теореме косинусов в треугольнике KME, имеем:
Подставляя известные значения, получим:
Так как
Теперь рассмотрим треугольник KFE. Используя теорему синусов, получим следующее соотношение:
Так как
По определению тангенса угла:
Подставим это соотношение:
Отсюда выражаем FE:
Теперь подставляем это значение обратно в первое уравнение:
Для упрощения выражения заменим
Корень из 1225 равен 35, поэтому:
Исходя из этого, отношение KF:FE равно:
Так как
Используя простую арифметику, мы можем упростить данное соотношение:
Распишем числитель и знаменатель отношения
Таким образом, мы доказали, что отношение KF:FE равно 7:4.
б) Чтобы найти площадь треугольника KFE, мы можем использовать формулу Герона.
Сначала найдем длины сторон треугольника. Мы уже знаем, что KF = 35 и FE = 15.
Осталось найти длину KE. Мы можем использовать теорему Пифагора в треугольнике KME:
Корень из 1450 примерно равен 38.1, поэтому:
Теперь у нас есть длины всех сторон треугольника. Мы можем использовать формулу Герона для нахождения площади треугольника:
где
Подставим это значение в формулу для площади:
Таким образом, площадь треугольника KFE составляет около 77.74.