На окружности, которая имеет диаметр MN со значением 34, выбрана точка K, которая находится на расстоянии 15 от этого

София

18

Давайте решим данную задачу шаг за шагом.

а) Рассмотрим треугольник KFE. По условию, угол KFE равен арккосинусу (4/5). Обозначим этот угол как α.

Так как прямой угол, образованный диаметром MN и хордой KE, равен 90 градусам, угол KMF также равен 90 градусам.

Тогда угол KME можно выразить как сумма углов KMF и FME, то есть:

Угол KME = угол KMF + угол FME = 90° + α

Также, поскольку диаметр делит хорду пополам, отрезки KF и FE равны между собой.

По теореме косинусов в треугольнике KME, имеем:

\(KF^2 = KE^2 + FE^2 - 2 \cdot KE \cdot FE \cdot \cos \angle KME\)

Подставляя известные значения, получим:

\(KF^2 = 15^2 + FE^2 - 2 \cdot 15 \cdot FE \cdot \cos (90° + α)\)

\(KF^2 = 225 + FE^2 - 2 \cdot 15 \cdot FE \cdot \cos (90°) \cdot \cos(α) + 2 \cdot 15 \cdot FE \cdot \sin (90°) \cdot \sin(α)\)

Так как \(\cos (90°) = 0\) и \(\sin (90°) = 1\), упростим выражение:

\(KF^2 = 225 + FE^2 - 2 \cdot 15 \cdot FE \cdot 0 \cdot \cos(α) + 2 \cdot 15 \cdot FE \cdot 1 \cdot \sin(α)\)

\(KF^2 = 225 + FE^2 + 30 \cdot FE \cdot \sin(α)\)

Теперь рассмотрим треугольник KFE. Используя теорему синусов, получим следующее соотношение:

\(\frac{{FE}}{{\sin \angle KFE}} = \frac{{KE}}{{\sin \angle FKE}}\)

\(\frac{{FE}}{{\sin (90° + α)}} = \frac{{15}}{{\sin α}}\)

Так как \(\sin (90° + α) = \cos α\) (синус дополнительного угла), упростим выражение:

\(\frac{{FE}}{{\cos α}} = \frac{{15}}{{\sin α}}\)

\(\frac{{FE}}{{15}} = \frac{{\cos α}}{{\sin α}}\)

По определению тангенса угла: \(\tan α = \frac{{\sin α}}{{\cos α}}\)
Подставим это соотношение:

\(\frac{{FE}}{{15}} = \tan α\)

Отсюда выражаем FE:

\(FE = 15 \cdot \tan α\)

Теперь подставляем это значение обратно в первое уравнение:

\(KF^2 = 225 + (15 \cdot \tan α)^2 + 30 \cdot 15 \cdot \tan α\)

\(KF^2 = 225 + 225 \cdot \tan^2 α + 30 \cdot 15 \cdot \tan α\)

Для упрощения выражения заменим \(\tan α\) на \(\frac{{4}}{{3}}\) (так как \(\cos α = \frac{{4}}{{5}}\)):

\(KF^2 = 225 + 225 \cdot \left(\frac{{4}}{{3}}\right)^2 + 30 \cdot 15 \cdot \frac{{4}}{{3}}\)

\(KF^2 = 225 + 225 \cdot \frac{{16}}{{9}} + 30 \cdot 15 \cdot \frac{{4}}{{3}}\)

\(KF^2 = 225 + 400 + 600\)

\(KF^2 = 1225\)

Корень из 1225 равен 35, поэтому:

\(KF = 35\)

Исходя из этого, отношение KF:FE равно:

\(\frac{{KF}}{{FE}} = \frac{{35}}{{15 \cdot \tan α}}\)

Так как \(\tan α = \frac{{4}}{{3}}\), подставим значение:

\(\frac{{KF}}{{FE}} = \frac{{35}}{{15 \cdot \frac{{4}}{{3}}}}\)

\(\frac{{KF}}{{FE}} = \frac{{35}}{{20}}\)

\(\frac{{KF}}{{FE}} = \frac{{7}}{{4}}\)

Используя простую арифметику, мы можем упростить данное соотношение:

\(\frac{{KF}}{{FE}} = \frac{{35}}{{20}} = \frac{{7}}{{4}}\)

Распишем числитель и знаменатель отношения \(KF:FE\) как произведение их простых множителей:

\(35 = 5 \cdot 7\), \(20 = 5 \cdot 2^2\), поэтому:

\(\frac{{KF}}{{FE}} = \frac{{5 \cdot 7}}{{5 \cdot 2^2}} = \frac{{7}}{{2^2}} = \frac{{7}}{{4}}\)

Таким образом, мы доказали, что отношение KF:FE равно 7:4.

б) Чтобы найти площадь треугольника KFE, мы можем использовать формулу Герона.

Сначала найдем длины сторон треугольника. Мы уже знаем, что KF = 35 и FE = 15.

Осталось найти длину KE. Мы можем использовать теорему Пифагора в треугольнике KME:

\(KE^2 = KF^2 + FE^2\)

\(KE^2 = 35^2 + 15^2\)

\(KE^2 = 1225 + 225\)

\(KE^2 = 1450\)

Корень из 1450 примерно равен 38.1, поэтому:

\(KE \approx 38.1\)

Теперь у нас есть длины всех сторон треугольника. Мы можем использовать формулу Герона для нахождения площади треугольника:

\(S = \sqrt{{p(p - KF)(p - FE)(p - KE)}}\)

где \(p\) - полупериметр треугольника, равный сумме длин всех сторон, деленной на 2:

\(p = \frac{{KF + FE + KE}}{2}\)

\(p = \frac{{35 + 15 + 38.1}}{2}\)

\(p \approx 44.05\)

Подставим это значение в формулу для площади:

\(S = \sqrt{{44.05 \cdot (44.05 - 35) \cdot (44.05 - 15) \cdot (44.05 - 38.1)}}\)

\(S \approx \sqrt{{44.05 \cdot 9.05 \cdot 29.05 \cdot 5.95}}\)

\(S \approx \sqrt{{6036.5148}}\)

\(S \approx 77.74\)

Таким образом, площадь треугольника KFE составляет около 77.74.