На окружности, которая имеет диаметр MN со значением 34, выбрана точка K, которая находится на расстоянии 15 от этого

  • 59
На окружности, которая имеет диаметр MN со значением 34, выбрана точка K, которая находится на расстоянии 15 от этого диаметра. Хорда KE пересекает диаметр MN в точке F под углом, равным арккосинусу 4/5. а) Докажите, что отношение KF:FE равно 125:29. б) Найдите площадь треугольника.
София
18
Давайте решим данную задачу шаг за шагом.

а) Рассмотрим треугольник KFE. По условию, угол KFE равен арккосинусу (4/5). Обозначим этот угол как α.

Так как прямой угол, образованный диаметром MN и хордой KE, равен 90 градусам, угол KMF также равен 90 градусам.

Тогда угол KME можно выразить как сумма углов KMF и FME, то есть:

Угол KME = угол KMF + угол FME = 90° + α

Также, поскольку диаметр делит хорду пополам, отрезки KF и FE равны между собой.

По теореме косинусов в треугольнике KME, имеем:

KF2=KE2+FE22KEFEcosKME

Подставляя известные значения, получим:

KF2=152+FE2215FEcos(90°+α)

KF2=225+FE2215FEcos(90°)cos(α)+215FEsin(90°)sin(α)

Так как cos(90°)=0 и sin(90°)=1, упростим выражение:

KF2=225+FE2215FE0cos(α)+215FE1sin(α)

KF2=225+FE2+30FEsin(α)

Теперь рассмотрим треугольник KFE. Используя теорему синусов, получим следующее соотношение:

FEsinKFE=KEsinFKE

FEsin(90°+α)=15sinα

Так как sin(90°+α)=cosα (синус дополнительного угла), упростим выражение:

FEcosα=15sinα

FE15=cosαsinα

По определению тангенса угла: tanα=sinαcosα
Подставим это соотношение:

FE15=tanα

Отсюда выражаем FE:

FE=15tanα

Теперь подставляем это значение обратно в первое уравнение:

KF2=225+(15tanα)2+3015tanα

KF2=225+225tan2α+3015tanα

Для упрощения выражения заменим tanα на 43 (так как cosα=45):

KF2=225+225(43)2+301543

KF2=225+225169+301543

KF2=225+400+600

KF2=1225

Корень из 1225 равен 35, поэтому:

KF=35

Исходя из этого, отношение KF:FE равно:

KFFE=3515tanα

Так как tanα=43, подставим значение:

KFFE=351543

KFFE=3520

KFFE=74

Используя простую арифметику, мы можем упростить данное соотношение:

KFFE=3520=74

Распишем числитель и знаменатель отношения KF:FE как произведение их простых множителей:

35=57, 20=522, поэтому:

KFFE=57522=722=74

Таким образом, мы доказали, что отношение KF:FE равно 7:4.

б) Чтобы найти площадь треугольника KFE, мы можем использовать формулу Герона.

Сначала найдем длины сторон треугольника. Мы уже знаем, что KF = 35 и FE = 15.

Осталось найти длину KE. Мы можем использовать теорему Пифагора в треугольнике KME:

KE2=KF2+FE2

KE2=352+152

KE2=1225+225

KE2=1450

Корень из 1450 примерно равен 38.1, поэтому:

KE38.1

Теперь у нас есть длины всех сторон треугольника. Мы можем использовать формулу Герона для нахождения площади треугольника:

S=p(pKF)(pFE)(pKE)

где p - полупериметр треугольника, равный сумме длин всех сторон, деленной на 2:

p=KF+FE+KE2

p=35+15+38.12

p44.05

Подставим это значение в формулу для площади:

S=44.05(44.0535)(44.0515)(44.0538.1)

S44.059.0529.055.95

S6036.5148

S77.74

Таким образом, площадь треугольника KFE составляет около 77.74.