На основании точек a(2; 2) и b(5; -2), требуется найти такую точку m на оси абсцисс, чтобы угол AMB был прямым

Larisa

13

Для начала построим график, чтобы визуально представить данную задачу.

\[
\begin{array}{ccccccc}
& | & | & | & | & | & | \\
& | & | & | & | & | & | \\
& | & | & | & | & | & | \\
& | & | & | & | & | & | \\
& | & | & | & | & | & | \\
& | & | & | & | & | & | \\
& | & | & | & | & | & | \\
& | & | & | & | & | & | \\
& | & | & | & | & | & | \\
& | & | & | & | & | & | \\
& | & | & | & | & | & | \\
& | & | & | & | & | & | \\
& | & | & | & | & | & | \\
& | & | & | & | & | & | \\
M & | & | & | & | & | & | \\
& | & | & | & | & | & | \\
& | & | & | & | & | & | \\
& | & | & | & | & | & | \\
& | & | & | & | & | & | \\
& | & | & | & | & | & | \\
& | & | & | & | & | & | \\
& a & & & & & & b \Rightarrow \\
& & 2 & & & 5 &
\end{array}
\]

Из графика видно, что точка M находится на оси абсцисс (или горизонтальной оси), поскольку ее ордината (вторая координата) равна нулю.

Теперь найдем координаты точки M.

Прежде всего, рассчитаем угловой коэффициент прямой AM. Угловой коэффициент m прямой, проходящей через две точки \((x_1, y_1)\) и \((x_2, y_2)\), вычисляется по формуле \(m = \frac{{y_2 - y_1}}{{x_2 - x_1}}\).

Подставим значения координат точек a и M в формулу:
\[m = \frac{{-2 - 2}}{{5 - 2}} = \frac{{-4}}{{3}} = -\frac{{4}}{{3}}\]

Так как угол AMB прямой, то угловые коэффициенты прямых AM и MB должны быть отрицательно-обратными величинами, то есть \(m_1 \cdot m_2 = -1\).

Подставим значение углового коэффициента прямой AM в уравнение \(m_1 \cdot m_2 = -1\) и найдем угловой коэффициент прямой MB:
\(\left(-\frac{{4}}{{3}}\right) \cdot m_2 = -1 \Rightarrow m_2 = \frac{{3}}{{4}}\)

Теперь у нас есть угловые коэффициенты прямых AM и MB.

Угловой коэффициент прямой AM равен \(-\frac{{4}}{{3}}\), а прямая MB должна быть перпендикулярна ей, поэтому ее угловой коэффициент равен \(\frac{{3}}{{4}}\).

Теперь мы можем воспользоваться формулой уравнения прямой и подставить координаты точки b рядом с любой формулой, чтобы найти нужную точку M на оси абсцисс.

Каноническое уравнение прямой имеет вид \(y - y_1 = m(x - x_1)\), где \(m\) - угловой коэффициент прямой, а \((x_1, y_1)\) - координаты точки на этой прямой.

Подставим значения координат точки b в уравнение и решим его относительно \(x\):
\(-2 - (-2) = \frac{{3}}{{4}}(x - 5)\)
\(-2 + 2 = \frac{{3}}{{4}}(x - 5)\)
\(0 = \frac{{3}}{{4}}(x - 5)\)

Заметим, что коэффициент \(\frac{{3}}{{4}}\) не равен нулю, поэтому уравнение имеет только одно решение - \(x = 5\).

Таким образом, найденная точка M на оси абсцисс имеет координаты \((5, 0)\).

Ответ: чтобы угол AMB был прямым, точка M должна иметь координаты (5, 0) на оси абсцисс.