На отрезке (-1,8) найдите критические точки функции f(x)=2x-6корней из

Морозный_Полет

28

Чтобы найти критические точки функции \( f(x) = 2x - 6\sqrt{x} \) на отрезке (-1, 8), мы должны найти значения \( x \), где производная функции равна нулю или не существует. Затем мы проверим, являются ли эти значения критическими точками, путем анализа их окрестностей.

Давайте начнем с нахождения производной функции \( f(x) \). Применим правило дифференцирования к каждому члену функции:

\[ f"(x) = \frac{d}{dx}(2x) - \frac{d}{dx}(6\sqrt{x}) \]

Дифференцируя каждый член по отдельности, получим:

\[ f"(x) = 2 - \frac{6}{2\sqrt{x}} \]

Упростим это выражение:

\[ f"(x) = 2 - \frac{3}{\sqrt{x}} \]

Теперь нам нужно найти значения \( x \), при которых \( f"(x) \) равно нулю или не существует. Уравнение \( f"(x) = 0 \) даёт:

\[ 2 - \frac{3}{\sqrt{x}} = 0 \]

Перенесем члены и упростим:

\[ \frac{3}{\sqrt{x}} = 2 \]

\[ \sqrt{x} = \frac{3}{2} \]

Возведем обе части уравнения в квадрат, чтобы устранить корень:

\[ x = \left(\frac{3}{2}\right)^2 \]

\[ x = \frac{9}{4} \]

Таким образом, единственное значение \( x \), при котором \( f"(x) = 0 \), это \( x = \frac{9}{4} \).

Теперь давайте проверим, является ли данное значение критической точкой, анализируя его окрестность. Мы знаем, что наша функция \( f(x) \) определена на отрезке (-1, 8), поэтому проверим, находится ли значение \( x = \frac{9}{4} \) в этом интервале.

\[ -1 < \frac{9}{4} < 8 \]

Так как это выполняется, то \( x = \frac{9}{4} \) принадлежит отрезку (-1, 8).

Таким образом, критическая точка функции \( f(x) = 2x - 6\sqrt{x} \) на отрезке (-1, 8) равна \( x = \frac{9}{4} \).