На плоскости квадрата ABCD проведены прямые KB и KA из вершины K таким образом, что ∡KBA=900 и ∡KBC=900. Найдите
На плоскости квадрата ABCD проведены прямые KB и KA из вершины K таким образом, что ∡KBA=900 и ∡KBC=900. Найдите расстояния от K до вершин квадрата, если сторона квадрата равна 11 см, а длина KB равна 14 см. Введите ответы округленные до десятых: KA= KC
Дарья_1941 26
Для решения данной задачи, мы можем воспользоваться свойствами прямоугольного треугольника и теоремой Пифагора.Обозначим точку пересечения прямых KB и KA как точку M. Также обозначим расстояние от точки K до вершин квадрата: KM, KA и KB соответственно.
Мы знаем, что ∠KBA = 90° и ∠KBC = 90°. Так как углы треугольника суммируются до 180°, то получаем, что ∠CBA = 180° - 90° - 90° = 0°. То есть, прямые BA и BC лежат на одной прямой.
Так как KA является высотой треугольника KBA, а треугольник прямоугольный, то отрезки KA и BM будут перпендикулярны друг другу.
Рассмотрим треугольник KMB. Мы знаем, что KB = 14 см и BM = KM - KA = KM - 11 см.
Теперь применим теорему Пифагора к треугольнику KMB:
\(KB^2 = KM^2 + BM^2\)
Подставим значения:
\(14^2 = KM^2 + (KM - 11)^2\)
Раскроем скобки:
\(196 = KM^2 + KM^2 - 22KM + 121\)
Соберем все слагаемые:
\(2KM^2 - 22KM + 325 = 0\)
Для решения этого уравнения, мы можем воспользоваться квадратным уравнением:
\(KM = \frac{{22 \pm \sqrt{{(-22)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 325}}}}{2 \cdot 2}\)
Выполним вычисления:
\(KM = \frac{{22 \pm \sqrt{{484 - 260}}}}{4}\)
\(KM = \frac{{22 \pm \sqrt{{224}}}}{4}\)
\(KM = \frac{{22 \pm 14.966}}{4}\)
Теперь найдем два возможных значения KM:
\(KM_1 = \frac{{22 + 14.966}}{4}\)
\(KM_1 = 8.9925\)
\(KM_2 = \frac{{22 - 14.966}}{4}\)
\(KM_2 = 1.5085\)
Так как расстояние не может быть отрицательным, то отбросим второй вариант \(KM_2\). Округлим первый вариант до десятых:
\(KM \approx 9.0\)
Теперь найдем расстояния от K до вершин квадрата: KA и KB.
Изначально у нас было дано, что KB = 14 см.
Аналогично предыдущим рассуждениям, можем заметить, что треугольник KAB прямоугольный, так как ∠KBA = 90°. Мы также знаем, что KA = KM - BM. Подставим значение KM = 9.0 и BM = KM - 11 = 9.0 - 11 = -2.0 см:
\(KA = 9.0 - (-2.0) = 11.0\) см
Итак, расстояния от K до вершин квадрата равны:
\(KM = 9.0\) см
\(KA = 11.0\) см
\(KB = 14.0\) см
Ответы округлены до десятых.