На промежутке [1/64, 64] найдите разницу между наибольшим и наименьшим значениями функции y=log4(x

Лунный_Хомяк

50

Хорошо, давайте начнем с решения задачи! Для начала давайте разберемся с функцией \(y = \log_4(x)\).

Функция логарифма с основанием 4, обозначаемая как \(\log_4(x)\), является обратной функцией для возведения числа в 4-ю степень. Она показывает, в какую степень нужно возвести число 4, чтобы получить значение \(x\).

Итак, чтобы найти наибольшее и наименьшее значение функции \(y = \log_4(x)\) на промежутке \([1/64, 64]\), мы начнем с того, что рассмотрим границы этого промежутка.

Минимальное значение промежутка равно \(1/64\). Чтобы найти соответствующее значение функции, мы подставим это значение вместо \(x\) в уравнение функции:

\[y = \log_4(1/64)\]

Как мы знаем, \(\log_4(1/64)\) показывает, в какую степень нужно возвести число 4, чтобы получить \(1/64\). Эквивалентное выражение для этого уравнения может быть записано как:

\(\log_4(1/64) = \frac{\log(1/64)}{\log(4)}\)

Теперь давайте вычислим это значение. Заметим, что \(\log(1/64)\) является обычным логарифмом с основанием 10 и равен -2, так как \(10^{-2} = 1/100 = 1/64\). Также, \(\log(4)\) равен 0.602, так как \(10^{0.602} \approx 4\). Подставляем значения:

\(\frac{-2}{0.602} \approx -3.322\)

Таким образом, наименьшее значение функции \(\log_4(x)\) на промежутке \([1/64, 64]\) равно около -3.322.

Теперь перейдем к наибольшему значению. Мы знаем, что наибольшее значение между двумя числами в функции логарифма обычно достигается, когда \(x\) равно наибольшему из этих двух чисел. В нашем случае это число 64. Подставим его в уравнение функции:

\[y = \log_4(64)\]

\(\log_4(64)\) показывает, в какую степень нужно возвести число 4, чтобы получить 64. Или, эквивалентно:

\(\log_4(64) = \frac{\log(64)}{\log(4)}\)

Заметим, что \(\log(64)\) равен 1.806, так как \(10^{1.806} \approx 64\). Подставляем значения:

\(\frac{1.806}{0.602} \approx 2.996\)

Таким образом, наибольшее значение функции \(\log_4(x)\) на промежутке \([1/64, 64]\) равно около 2.996.

Наконец, чтобы найти разницу между наибольшим и наименьшим значениями функции на данном промежутке, мы просто вычитаем наименьшее значение из наибольшего:

\[2.996 - (-3.322) = 6.318\]

Таким образом, разница между наибольшим и наименьшим значениями функции \(y = \log_4(x)\) на промежутке \([1/64, 64]\) составляет около 6.318.