Какова вероятность того, что ровно одна папка будет пустой из 10 папок, в которые случайно раскладывают 11 рукописей?

Solnechnyy_Narkoman

33

Для решения данной задачи нам понадобятся комбинаторные методы и определение вероятности.

Пусть у нас есть 10 папок и 11 рукописей. Нам нужно определить вероятность того, что ровно одна папка будет пустой.

Способ 1: Использование комбинаторики
Посчитаем общее количество исходов, когда все рукописи распределены по папкам. Каждую рукопись мы можем положить в одну из 10 папок, поэтому общее количество исходов равно \(10^{11}\).

Теперь рассмотрим случаи, когда ровно одна папка пустая. У нас есть 10 вариантов выбрать эту пустую папку, а оставшиеся 9 папок будут содержать по одной рукописи. Тогда количество исходов в этом случае равно \(10 \times 9^{10}\).

Таким образом, вероятность того, что ровно одна папка будет пустой, равна \(\frac{{10 \times 9^{10}}}{{10^{11}}}\).

Способ 2: Использование вероятности
Можем рассмотреть также вероятность того, что определенная папка будет пустой, и затем учесть все возможные варианты выбора пустой папки.

В начале проверим вероятность того, что первая папка будет пустой. Здесь мы имеем 10 вариантов (10 папок), и оставшиеся 9 рукописей мы должны распределить по 10 папкам (каждая из которых может содержать до 11 рукописей). Таким образом, вероятность того, что первая папка пустая, равна \(\frac{{\binom{{10}}{{0}} \times \binom{{11}}{{9}}}}{{\binom{{10+11}}{{11}}}}\).

После этого мы должны учесть все возможные варианты выбора пустой папки. В данной задаче у нас есть 10 папок, поэтому мы можем выбрать любую из них, обозначим это число как \(k\). Тогда общая вероятность будет равна \(\frac{{\binom{{10}}{{k}} \times \binom{{11}}{{11-k}}}}{{\binom{{10+11}}{{11}}}}\).

Теперь найдем сумму вероятностей для всех возможных значений \(k\), начиная с 1 и до 10. То есть, мы будем суммировать данные вероятности:
\(\sum\limits_{{k=1}}^{10} \frac{{\binom{{10}}{{k}} \times \binom{{11}}{{11-k}}}}{{\binom{{10+11}}{{11}}}}\).

Наилучшим методом решения данной суммы является использование численных методов или вычислительных программ. Получаемый результат будет являться сокращенной дробью, которую мы получим в виде ответа.

Итак, вероятность того, что ровно одна папка будет пустой из 10 папок, в которые случайно раскладывают 11 рукописей, записывается в виде сокращенной дроби, которая будет зависеть от используемого метода решения суммы. Желательно использовать математический пакет или программное обеспечение для расчета точного результата.