На рисунке 130 имеются две окружности с общим центром О. Проведены касательные АВ и АС через точку А к меньшей

Schelkunchik

42

Давайте рассмотрим данную задачу и постараемся дать максимально подробное решение.

Для начала, обратим внимание на то, что в задаче указано, что у нас есть две окружности с общим центром О и радиусом R₁ и R₂ соответственно.

Мы хотим найти радиус меньшей окружности, поэтому назовем ее R₁, а радиус большей окружности обозначим как R₂.

Также, на рисунке у нас проведены две касательные АВ и АС через точку А к меньшей окружности.

Итак, как мы можем узнать радиус R₁ меньшей окружности?

Наблюдая за рисунком, заметим, что касательные АВ и АС касаются меньшей окружности в точках В и С соответственно. По свойству касательной, линия, проведенная из центра окружности к точке касания, должна быть перпендикулярна касательной.

Таким образом, проведем линию из центра О к точкам В и С, и обозначим середину отрезка ВС как точку М.

Рассмотрим треугольник ОМВ. Так как линия ОМ - медиана треугольника, то ОМ делит линию ВС пополам.

Зная это, мы можем сказать, что ОМ = (ВС)/2.

Теперь, обратим внимание на треугольник ОАV. Так как ОМ перпендикулярна к касательной и ОА - радиус окружности, то ОМ является высотой треугольника.

Мы знаем, что в прямоугольном треугольнике ОАМ катет ОМ равен (ВС)/2, а гипотенуза - радиус R₂.

Используя теорему Пифагора, мы можем записать:

\(R₂^2 = R₁^2 + \left(\frac{ВС}{2}\right)^2\)

Теперь у нас есть уравнение, в котором появляются радиусы R₁ и R₂, а также длина ВС.

Для дальнейшего решения нам нужно получить еще одно уравнение. Вспомним, что касательные АВ и АС касаются меньшей окружности в точках В и С соответственно.

По свойству касательной, угол между касательной и радиусом окружности равен 90 градусам.

Таким образом, угол AVО равен 90 градусам.

Используя свойства окружностей, мы можем сказать, что угол BОС является вписанным углом, и он равен углу AVО.

Следовательно, угол BОС тоже равен 90 градусам.

Теперь мы можем рассмотреть треугольник BОС. Он является прямоугольным треугольником, так как два его угла равны 90 градусам.

Используя теорему Пифагора, мы можем записать:

\(R₂^2 = R₁^2 + ВС^2\)

Теперь у нас есть система из двух уравнений:

\(R₂^2 = R₁^2 + \left(\frac{ВС}{2}\right)^2\)

\(R₂^2 = R₁^2 + ВС^2\)

Мы можем решить эту систему уравнений методом подстановки или сложением/вычитанием, чтобы найти значения R₁ и ВС.

После нахождения ВС, радиус меньшей окружности R₁ будет половиной ВС.

Надеюсь, данное подробное объяснение поможет вам понять решение данной задачи. Если у вас возникли какие-либо вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь задавать их.