На рисунке 141, б изображен прямоугольный параллелепипед abcda1b1c1d1, у которого основанием является квадрат abcd

Yaroslav_5711

20

Для решения этой задачи, нам необходимо использовать свойства параллелограмма и прямоугольника.

Поскольку параллелограмм abcd является основанием для параллелепипеда abcda1b1c1d1, то у него противоположные стороны равны и соответственно параллельны. Таким образом, векторы ab и cd1, а также векторы ad и bc1, будут параллельны.

Далее, поскольку вектор db1 является диагональю параллелограмма abcd, то он разделяет этот параллелограмм на два равных прямоугольника. Известно, что у прямоугольника углы противоположных сторон равны, поэтому угол между векторами dc1 и ab1 равен углу между векторами db1 и ab1.

Теперь давайте рассмотрим треугольник aab1. Поскольку он является прямоугольным треугольником, то мы можем использовать теорему Пифагора для нахождения длины его гипотенузы aa1:
\[aa1 = \sqrt{ab^2 + bb1^2}\]

Из условия задачи нам известно, что ab равна 4 см. Однако, нам не дано значение bb1. Чтобы решить этот вопрос, воспользуемся свойствами параллелограмма. Так как abcd является параллелограммом, его диагонали делятся пополам. Следовательно, bb1 равна половине стороны ab:
\[bb1 = \frac{1}{2} \times ab\]

Подставим известные значения в формулу для нахождения длины aa1:
\[aa1 = \sqrt{ab^2 + \left(\frac{1}{2} \times ab\right)^2}\]

\[aa1 = \sqrt{16 + \left(\frac{1}{2} \times 4\right)^2}\]

\[aa1 = \sqrt{16 + 4}\]

\[aa1 = \sqrt{20}\]

Таким образом, длина гипотенузы aa1 равна \(\sqrt{20}\) см.

Теперь мы можем перейти к нахождению угла между прямыми bc1 и ab1 в треугольнике bdb1.

Так как ab и cd1 параллельны, то угол между ними равен углу между векторами db1 и ab1. Поэтому, нам нужно найти этот угол. Мы знаем, что стороны ab и db1 образуют прямой угол, а гипотенуза aa1 — сторона треугольника. По определению тангенса, тангенс прямого угла равен отношению противоположного катета к прилежащему. Таким образом, можем записать:
\[\tan(\angle b1ab) = \frac{db1}{aa1}\]

Подставим значения:
\[\tan(\angle b1ab) = \frac{\frac{1}{2} \times ab}{\sqrt{20}} = \frac{2}{\sqrt{20}} = \frac{2}{2\sqrt{5}} = \frac{1}{\sqrt{5}}\]

Теперь найдем значение угла между прямыми bc1 и ab1, воспользовавшись обратной функцией тангенса:
\[\angle bc1ab1 = \arctan\left(\frac{1}{\sqrt{5}}\right)\]

Вычислив данный выражение, получим значение угла между прямыми bc1 и ab1.