Какие значения k нужно найти, чтобы уравнение (1+(2-2k)sint)/(cost-sint)=2k имело хотя бы одно решение на интервале

Hrustal_1097

63

Для начала, давайте проанализируем данное уравнение и попробуем найти значения k, при которых уравнение имеет хотя бы одно решение на интервале (0,π/2).

У нас есть уравнение:

\[\frac{{1 + (2 - 2k)\sin(t)}}{{\cos(t) - \sin(t)}} = 2k\]

Чтобы найти значения k, при которых уравнение имеет решение, давайте разделим обе стороны на 2k:

\[\frac{{1 + (2 - 2k)\sin(t)}}{{(2k)(\cos(t) - \sin(t))}} = 1\]

Теперь давайте раскроем знаменатель (2k)(cos(t) - sin(t)):

\[2k\cos(t) - 2k\sin(t) = 1 + (2 - 2k)\sin(t)\]

Раскроем скобки в выражениях:

\[2k\cos(t) - 2k\sin(t) = 1 + 2\sin(t) - 2k\sin(t)\]

Теперь сгруппируем похожие слагаемые:

\[2k\cos(t) + (2 - 2k)\sin(t) - 2\sin(t) = 1\]

У нас получилось новое уравнение:

\[(2k\cos(t) - 2\sin(t)) + (2 - 2k)\sin(t) = 1\]

Теперь у нас есть две части: (2kcos(t) - 2sin(t)) и (2 - 2ksin(t)). Нам нужно найти значения k, при которых эти две части равны друг другу.

Если мы рассмотрим первую часть (2kcos(t) - 2sin(t)), то мы можем заметить, что это линейная комбинация kcos(t) и sin(t).

Аналогично, вторая часть (2 - 2ksin(t)) - это линейная комбинация 2 и ksin(t).

Поскольку два выражения равны, их коэффициенты перед sin(t) и cos(t) должны быть равными.

Итак, у нас есть два уравнения:

1) 2k = 2 - 2k
2) -2 = -2k

Давайте решим эти уравнения по очереди:

Уравнение 1):

2k = 2 - 2k

Перенесем 2k на одну сторону и 2 на другую:

2k + 2k = 2

4k = 2

Теперь разделим обе стороны на 4:

k = \frac{1}{2}

Уравнение 2):

-2 = -2k

Теперь разделим обе стороны на -2:

k = 1

Таким образом, для уравнения (1 + (2 - 2k)sin(t))/(cos(t) - sin(t)) = 2k имеется два возможных значения k: k = \frac{1}{2} и k = 1.

Мы нашли ответ на поставленную задачу и указали все шаги решения, чтобы он был понятен школьнику.