Какие уравнения нужно решить на завтра, чтобы получить следующие результаты: логарифм с основанием 10 от суммы

Mishka

60

По условию задачи, нам необходимо решить уравнения, чтобы получить следующие результаты:

1) \(\log_{10}(x^2 + y^2 - 1) = \log_{10}(13)\)
2) \(\log_{10}(x + y) - \log_{10}(x - y) = 0\)

Решим эти уравнения по очереди.

1) \(\log_{10}(x^2 + y^2 - 1) = \log_{10}(13)\)

Чтобы избавиться от логарифма, мы можем применить обратную функцию к обоим сторонам уравнения, то есть возведение в 10 обоих сторон:

\(x^2 + y^2 - 1 = 10^{log_{10}(13)}\)

Так как \(10^{log_{10}(13)}\) равно 13, получаем:

\(x^2 + y^2 - 1 = 13\)

Теперь мы можем привести уравнение к каноническому виду, выражая одну переменную через другую. Предположим, что мы выразим \(y\) через \(x\). Тогда:

\(y^2 = 12 - x^2\)

Отсюда мы можем получить два возможных значения \(y\): \(y = \sqrt{12 - x^2}\) и \(y = -\sqrt{12 - x^2}\).

2) \(\log_{10}(x + y) - \log_{10}(x - y) = 0\)

Здесь нам также нужно избавиться от логарифмов. Применим свойства логарифмов, что \(\log_{10}(a) - \log_{10}(b) = \log_{10}\left(\frac{a}{b}\right)\):

\(\log_{10}\left(\frac{x + y}{x - y}\right) = 0\)

Теперь мы можем выразить \(\frac{x + y}{x - y}\):

\(\frac{x + y}{x - y} = 10^0\)

Так как \(10^0\) равно 1, получаем:

\(\frac{x + y}{x - y} = 1\)

Перенесём \(x - y\) в числитель:

\(x + y = x - y\)

Отсюда мы получаем:

\(2y = 0\)

Таким образом, получаем, что \(y = 0\).

Итак, получили два возможных решения:

1) \(y = \sqrt{12 - x^2}\)
2) \(y = -\sqrt{12 - x^2}\)
3) \(y = 0\)

Теперь школьник может использовать эти решения для проверки или продолжения расчетов в соответствии с задачей.