На сколько более вероятно, что орел выпадет ровно 5 раз, по сравнению с тем, что орел выпадет ровно 2 раза, если монету

Черная_Роза

15

Для того чтобы решить данную задачу, мы можем воспользоваться формулой для вероятности биномиального распределения. В данном случае, у нас есть два события: выпадение орла и выпадение решки, каждое из которых может произойти или не произойти.

Формула для вероятности биномиального распределения имеет следующий вид:
\[P(X = k) = \binom{n}{k} \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}\]

Где:
- \(P(X = k)\) - вероятность того, что событие произойдет k раз
- \(n\) - количество испытаний (в данном случае, бросков монеты)
- \(k\) - количество успешных событий (например, количество выпадений орла)
- \(\binom{n}{k}\) - количество сочетаний из n по k (число сочетаний комбинаторика)
- \(p\) - вероятность успешного события (например, вероятность выпадения орла)
- \(1-p\) - вероятность неуспешного события (например, вероятность выпадения решки)

Для решения данной задачи, нам нужно вычислить вероятность того, что орел выпадет ровно 5 раз и вероятность того, что орел выпадет ровно 2 раза при условии, что монету бросили 9 раз.

Первым делом, посчитаем вероятность выпадения орла при одном броске монеты. Пусть \(p\) будет вероятность выпадения орла, тогда \(p = \frac{1}{2}\), так как есть два равновероятных исхода: орел или решка.

Теперь можем перейти к вычислению вероятности. Для того, чтобы орел выпал ровно 5 раз из 9, нам нужно рассчитать следующее выражение:

\[P(X = 5) = \binom{9}{5} \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^5 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^4\]

Расчет значения выражения:
\[\binom{9}{5} = \frac{9!}{5! \cdot (9-5)!} = \frac{9!}{5! \cdot 4!} = \frac{9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 126\]

\[\left(\frac{1}{2}\right)^5 = \frac{1}{2^5} = \frac{1}{32}\]
\[\left(\frac{1}{2}\right)^4 = \frac{1}{2^4} = \frac{1}{16}\]

Теперь можем подставить полученные значения в формулу:
\[P(X = 5) = 126 \cdot \frac{1}{32} \cdot \frac{1}{16} = \frac{126}{512} = \frac{63}{256} \approx 0.246\]

Теперь проведем аналогичные вычисления для вероятности выпадения орла ровно 2 раза из 9 бросков монеты:

\[P(X = 2) = \binom{9}{2} \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^2 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^7\]

Расчет значения выражения:
\[\binom{9}{5} = \frac{9!}{2! \cdot (9-2)!} = \frac{9!}{2! \cdot 7!} = \frac{9 \cdot 8}{2 \cdot 1} = 36\]
\[\left(\frac{1}{2}\right)^5 = \frac{1}{2^2} = \frac{1}{4}\]
\[\left(\frac{1}{2}\right)^4 = \frac{1}{2^7} = \frac{1}{128}\]

Теперь можем подставить полученные значения в формулу:
\[P(X = 2) = 36 \cdot \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{128} = \frac{9}{512} \approx 0.018\]

Таким образом, мы получили, что вероятность того, что орел выпадет ровно 5 раз при 9 бросках монеты равна приблизительно 0.246, а вероятность того, что орел выпадет ровно 2 раза, составляет приблизительно 0.018.

Таким образом, можно считать, что орел выпадет ровно 5 раз более вероятно, чем орел выпадет ровно 2 раза.