8. Предоставьте пример функции, изображенной графически и имеющей ограничение снизу на определенном интервале, при этом

Космическая_Панда

46

8. Одним из примеров функции, которая удовлетворяет ограничению снизу на определенном интервале и достигает своего минимального значения на этом интервале, является функция \(f(x) = -x^2\). Давайте разберемся почему.

Для начала, построим график функции. Ниже приведен график функции \(f(x) = -x^2\):

\[
\begin{array}{c|c}
x & f(x) \\
\hline
-2 & -4 \\
-1 & -1 \\
0 & 0 \\
1 & -1 \\
2 & -4 \\
\end{array}
\]

\[
\begin{array}{cccccc}
& \ldots & -2 & -1 & 0 & 1 & 2 & \ldots \\
\hline
f(x) & \ldots & -4 & -1 & 0 & -1 & -4 & \ldots \\
\end{array}
\]

Мы видим, что на интервале от \(-2\) до \(2\) эта функция достигает своего минимального значения равного \(-4\). Ниже представлен график функции:

\[
\begin{array}{ccc}
\begin{array}{c}
y \\
\uparrow \\
f(x) \\
\end{array}
& \begin{array}{cccc}
\ldots & -2 & -1 & 0 & 1 & 2 & \ldots \\
\hline
& & & & & & \\
-4 & \ldots & & & & \ldots & -4 \\
& & & & & & \\
\end{array}
& \begin{array}{c}
x \\
\rightarrow \\
\end{array} \\
\end{array}
\]

Из графика видно, что функция \(f(x) = -x^2\) достигает своего минимального значения \(-4\) на интервале от \(-2\) до \(2\). Таким образом, она является примером функции, удовлетворяющей заданному условию.

9. Пример функции, которая имеет ограничение снизу на определенном интервале, но не имеет минимального значения на этом интервале, может быть следующей: \(f(x) = x\). Рассмотрим эту функцию подробнее.

Давайте построим график функции \(f(x) = x\):

\[
\begin{array}{c|c}
x & f(x) \\
\hline
-2 & -2 \\
-1 & -1 \\
0 & 0 \\
1 & 1 \\
2 & 2 \\
\end{array}
\]

\[
\begin{array}{cccccc}
& \ldots & -2 & -1 & 0 & 1 & 2 & \ldots \\
\hline
f(x) & \ldots & -2 & -1 & 0 & 1 & 2 & \ldots \\
\end{array}
\]

На данном графике видно, что функция \(f(x) = x\) не имеет минимального значения на заданном интервале. Значения функции \(f(x)\) растут и убывают вместе с требуемым интервалом. Однако, функция имеет ограничение сверху и снизу, так как график функции является прямой линией.

10. Пример функции, которая имеет ограничение сверху на определенном интервале и достигает своего максимального значения на этом интервале, может быть следующей: \(f(x) = -x^2 + 4\). Посмотрим на это подробнее.

Построим график функции \(f(x) = -x^2 + 4\):

\[
\begin{array}{c|c}
x & f(x) \\
\hline
-2 & 0 \\
-1 & 3 \\
0 & 4 \\
1 & 3 \\
2 & 0 \\
\end{array}
\]

\[
\begin{array}{cccccc}
& \ldots & -2 & -1 & 0 & 1 & 2 & \ldots \\
\hline
f(x) & \ldots & 0 & 3 & 4 & 3 & 0 & \ldots \\
\end{array}
\]

Мы видим, что на интервале от \(-2\) до \(2\) данная функция достигает своего максимального значения равного \(4\). Ниже представлен график функции:

\[
\begin{array}{ccc}
\begin{array}{c}
y \\
\uparrow \\
f(x) \\
\end{array}
& \begin{array}{cccc}
\ldots & -2 & -1 & 0 & 1 & 2 & \ldots \\
\hline
& & & & & & \\
4 & \ldots & & & & \ldots & 4 \\
& & & & & & \\
\end{array}
& \begin{array}{c}
x \\
\rightarrow \\
\end{array} \\
\end{array}
\]

Таким образом, функция \(f(x) = -x^2 + 4\) является примером функции, которая удовлетворяет требованию иметь ограничение вверху на заданном интервале и достигает своего максимального значения \(4\) на этом интервале.

11. Чтобы предоставить пример функции, изображенной графически и имеющей и ограничение сверху, и ограничение снизу на определенном интервале, нам понадобится функция, ограниченная с обеих сторон и имеющая экстремум на этом интервале. Один из примеров такой функции - \(f(x) = \sin(x)\).

Построим график функции \(f(x) = \sin(x)\):

\[
\begin{array}{c|c}
x & f(x) \\
\hline
-\pi & 0 \\
-\frac{\pi}{2} & -1 \\
0 & 0 \\
\frac{\pi}{2} & 1 \\
\pi & 0 \\
\end{array}
\]

\[
\begin{array}{cccccc}
& \ldots & -\pi & -\frac{\pi}{2} & 0 & \frac{\pi}{2} & \pi & \ldots \\
\hline
f(x) & \ldots & 0 & -1 & 0 & 1 & 0 & \ldots \\
\end{array}
\]

На графике мы видим, что функция \(f(x) = \sin(x)\) ограничена сверху значением 1 и ограничена снизу значением -1 на заданном интервале от \(-\pi\) до \(\pi\). В этом интервале функция достигает своего максимального значения 1 в точке \(\frac{\pi}{2}\) и своего минимального значения -1 в точке \(-\frac{\pi}{2}\).

Ниже приведен график функции:

\[
\begin{array}{ccc}
\begin{array}{c}
y \\
\uparrow \\
f(x) \\
\end{array}
& \begin{array}{cccc}
\ldots & -\pi & -\frac{\pi}{2} & 0 & \frac{\pi}{2} & \pi & \ldots \\
\hline
& & & & & & \\
1 & \ldots & & & \ldots & & 1 \\
& & & & & & \\
\end{array}
& \begin{array}{c}
x \\
\rightarrow \\
\end{array} \\
\end{array}
\]

Таким образом, функция \(f(x) = \sin(x)\) является примером функции, которая удовлетворяет требованию иметь и ограничение сверху, и ограничение снизу на определенном интервале, достигая своего максимального значения и минимального значения на этом интервале.