На сколько больше излучение металла при его нагреве до 2000 градусов по сравнению с нагревом до 727 градусов?

Mila

2

Чтобы ответить на этот вопрос, нам потребуется знание о законе Винта-Планка и формуле Стефана-Больцмана.

Закон Винта-Планка описывает спектральную плотность излучения абсолютно черного тела. Согласно этому закону, спектральная плотность излучения с температурой \(T\) может быть вычислена по формуле:

\[B(\lambda, T) = \frac{{2\pi hc^2}}{{\lambda^5}} \frac{{1}}{{e^\frac{{hc}}{{\lambda kT}} - 1}}\]

где:
- \(B(\lambda, T)\) - спектральная плотность излучения в волновом диапазоне \(\lambda\) при температуре \(T\),
- \(h\) - постоянная Планка (\(6.62607015 \times 10^{-34}\, \text{Дж} \cdot \text{с}\)),
- \(c\) - скорость света (\(2.998 \times 10^8\, \text{м/с}\)),
- \(k\) - постоянная Больцмана (\(1.380649 \times 10^{-23}\, \text{Дж/К}\)).

Спектральная плотность излучения выражается в ваттах на метр квадратный (\(\text{Вт/м}^2\)) на метр длинной волны \(\lambda\).

Формула Стефана-Больцмана выражает полную мощность, излучаемую абсолютно черным телом при заданной температуре \(T\):

\[P = \sigma A T^4\]

где:
- \(P\) - полная мощность излучения в ваттах (\(\text{Вт}\)),
- \(\sigma\) - постоянная Стефана-Больцмана (\(5.670374419 \times 10^{-8}\, \text{Вт/м}^2 \cdot \text{К}^4\)),
- \(A\) - площадь поверхности излучающего тела в квадратных метрах (\(\text{м}^2\)),
- \(T\) - температура в кельвинах (\(\text{К}\)).

Теперь применим эти формулы для решения задачи. Для начала, найдем изменение излучения металла при нагреве от 727 градусов до 2000 градусов.

1. Рассчитаем спектральную плотность излучения при 727 градусах. Для этого используем первую формулу:

\[B_1(\lambda, T_1) = \frac{{2\pi hc^2}}{{\lambda^5}} \frac{{1}}{{e^\frac{{hc}}{{\lambda kT_1}} - 1}}\]

Где:
- \(T_1 = 727\) - температура в градусах Цельсия (приводим ее к Кельвинам, \(T_1 = T_1 + 273.15\)).

2. Рассчитаем спектральную плотность излучения при 2000 градусах. Для этого используем ту же формулу, но с новым значением температуры:

\[B_2(\lambda, T_2) = \frac{{2\pi hc^2}}{{\lambda^5}} \frac{{1}}{{e^\frac{{hc}}{{\lambda kT_2}} - 1}}\]

Где:
- \(T_2 = 2000\) - температура в градусах Цельсия (приводим ее к Кельвинам, \(T_2 = T_2 + 273.15\)).

3. Чтобы найти насколько больше излучение металла при нагреве до 2000 градусов, вычислим отношение спектральных плотностей излучения:

\[K = \frac{{B_2}}{{B_1}}\]

4. Теперь, используя формулу Стефана-Больцмана, вычислим полную мощность излучения для каждой из температур и найдем изменение мощности излучения:

\[\Delta P = P_2 - P_1\]

где \(P_2\) - мощность излучения при 2000 градусах, а \(P_1\) - мощность излучения при 727 градусах.

Пользуясь этим подходом, мы сможем подробно представить изменение излучения металла при его нагреве до 2000 градусов по сравнению с нагревом до 727 градусов. Если вам необходимы конкретные численные значения, укажите площадь поверхности металла.