На сколько процентов уменьшится ускорение свободного падения на поверхности земли, если при этом же диаметре масса

Добрая_Ведьма

19

Для того чтобы решить эту задачу, мы должны понимать, что ускорение свободного падения зависит от массы планеты и её радиуса. Формула, описывающая ускорение свободного падения на поверхности планеты, известна как формула Ньютона:

\[a = \frac{GM}{R^2}\]

где \(a\) - ускорение свободного падения, \(G\) - гравитационная постоянная, \(M\) - масса планеты, \(R\) - радиус планеты.

В нашей задаче у нас дано ускорение свободного падения на поверхности Земли (\(9.8 \, \text{м/c}^2\)). Мы должны найти, на сколько процентов это ускорение уменьшится, если масса планеты уменьшится в 4.8 раза, при этом диаметр сохраняется.

Чтобы решить эту задачу, мы используем пропорциональность ускорения свободного падения и массы планеты. Для начала нам необходимо найти отношение ускорений свободного падения на двух разных планетах.

При уменьшении массы планеты в 4.8 раза, масса (\(M"\)) новой планеты будет равна:

\[M" = \frac{M}{4.8}\]

По закону сохранения массы, объём планеты остаётся неизменным, и значит, радиусы (\(R\)) планет и новой планеты равны (используем теорему Пифагора):

\[R" = R\]

Теперь, рассчитаем ускорение свободного падения для новой планеты (\(a"\)) с использованием закона всемирного тяготения и найденных выше значений:

\[a" = \frac{GM"}{R"^2} = \frac{G\left(\frac{M}{4.8}\right)}{R^2}\]

Теперь мы можем найти, на сколько процентов уменьшится ускорение свободного падения, сравнивая \(a"\) и \(a\):

\[\text{Уменьшение в процентах} = \frac{a - a"}{a} \times 100\%\]

Подставив значения, получим решение:

\[\text{Уменьшение в процентах} = \frac{9.8 - \frac{G \cdot M / 4.8}{R^2}}{9.8} \times 100\%\]

Однако, для полноценного решения нам необходимо знать значения гравитационной постоянной (\(G\)) и радиуса Земли (\(R\)). Возьмём \(G = 6.67430 \times 10^{-11} \, \text{м}^3/\text{кг}\cdot\text{с}^2\) и \(R = 6.371 \times 10^6 \, \text{м}\). Подставим эти значения и решим уравнение:

\[\text{Уменьшение в процентах} = \frac{9.8 \, (\text{м/c}^2) - \frac{6.67430 \times 10^{-11} \, \text{м}^3/\text{кг}\cdot\text{с}^2 \cdot M / 4.8}{(6.371 \times 10^6 \, \text{м})^2}}{9.8 \, (\text{м/c}^2)} \times 100\%\]

Результатом будет значение, показывающее, на сколько процентов уменьшится ускорение свободного падения на поверхности Земли при уменьшении массы Земли в 4.8 раза.