На сколько раз больше объем призмы по сравнению с объемом пирамиды, если их основания совпадают, а апофема пирамиды

Сквозь_Космос_6119

20

Для решения этой задачи нам понадобится знание формул для объема призмы и объема пирамиды.

Объем призмы вычисляется по формуле: \(V_{\text{призмы}} = S_{\text{осн}} \cdot h_{\text{призмы}}\), где \(S_{\text{осн}}\) - площадь основания призмы, \(h_{\text{призмы}}\) - высота призмы.

Объем пирамиды вычисляется следующим образом: \(V_{\text{пирамиды}} = \frac{1}{3} \cdot S_{\text{осн}} \cdot h_{\text{пирамиды}}\), где \(S_{\text{осн}}\) - площадь основания пирамиды, \(h_{\text{пирамиды}}\) - высота пирамиды.

У нас дано, что основания призмы и пирамиды совпадают, а также апофема пирамиды равна высоте призмы. Обозначим общую площадь основания как \(S_{\text{осн}}\), высоту призмы как \(h_{\text{призмы}}\) и высоту пирамиды как \(h_{\text{пирамиды}}\).

Теперь, с учетом этих обозначений, мы можем записать формулы для объемов призмы и пирамиды:

\(V_{\text{призмы}} = S_{\text{осн}} \cdot h_{\text{призмы}}\)

\(V_{\text{пирамиды}} = \frac{1}{3} \cdot S_{\text{осн}} \cdot h_{\text{пирамиды}}\)

Поскольку у нас есть условия, что апофема пирамиды равна высоте призмы, то \(h_{\text{пирамиды}} = h_{\text{призмы}}\). Это позволяет нам сократить формулы:

\(V_{\text{призмы}} = S_{\text{осн}} \cdot h_{\text{призмы}}\)

\(V_{\text{пирамиды}} = \frac{1}{3} \cdot S_{\text{осн}} \cdot h_{\text{призмы}}\)

Отношение объема призмы к объему пирамиды будет равно:

\(\frac{V_{\text{призмы}}}{V_{\text{пирамиды}}} = \frac{S_{\text{осн}} \cdot h_{\text{призмы}}}{\frac{1}{3} \cdot S_{\text{осн}} \cdot h_{\text{призмы}}}\)

Сокращая, получаем:

\(\frac{V_{\text{призмы}}}{V_{\text{пирамиды}}} = \frac{3 \cdot S_{\text{осн}} \cdot h_{\text{призмы}}}{S_{\text{осн}} \cdot h_{\text{призмы}}}\)

\(= 3\)

Таким образом, объем призмы окажется в 3 раза больше объема пирамиды при условии, что их основания совпадают, а апофема пирамиды равна высоте призмы.