На сколько раз уменьшилась температура газа при его адиабатическом расширении в n раз?

Pugayuschiy_Pirat_542

23

При адиабатическом расширении газа не происходит обмена теплом между газом и окружающей средой. Это значит, что изменение температуры газа происходит только из-за изменения его объема.

Для решения задачи, нам понадобится использовать закон адиабатического процесса. Этот закон имеет вид:

\[\frac{{T_2}}{T_1} = \left(\frac{V_1}{V_2}\right)^{\gamma-1}\]

где \(T_1\) и \(T_2\) - начальная и конечная температуры соответственно, \(V_1\) и \(V_2\) - начальный и конечный объемы газа, а \(\gamma\) - показатель адиабаты. Для идеального моноатомного газа, такого как гелий, показатель адиабаты равняется \(\frac{5}{3}\).

Поскольку величина \(\frac{{T_2}}{T_1}\) описывает, на сколько раз изменяется температура газа, мы можем записать \(n = \frac{{T_2}}{T_1}\), где \(n\) - коэффициент изменения температуры газа.

Теперь мы можем решить уравнение для определения изменения температуры газа. Для этого возьмем логарифм от обеих частей уравнения:

\[\log{\left(\frac{{T_2}}{T_1}\right)} = \log{\left(\frac{V_1}{V_2}\right)^{\gamma-1}}\]

Используя свойство логарифмов \(\log{a^b} = b \cdot \log{a}\), преобразуем уравнение:

\[\log{\left(\frac{{T_2}}{T_1}\right)} = (\gamma-1) \cdot \log{\left(\frac{V_1}{V_2}\right)}\]

Теперь избавимся от логарифма, возведя обе части уравнения в степень 10:

\[\left(\frac{{T_2}}{T_1}\right) = 10^{(\gamma-1) \cdot \log{\left(\frac{V_1}{V_2}\right)}}\]

Применим далее свойство логарифма \(\log{a^b} = b \cdot \log{a}\) и заменим \(\log{\left(\frac{V_1}{V_2}\right)}\) на \(b\):

\[\left(\frac{{T_2}}{T_1}\right) = 10^{(\gamma-1) \cdot b}\]

Теперь, чтобы выразить \(b\) через \(n\) и \(\gamma\), применим логарифм еще раз:

\[\log{\left(\frac{{T_2}}{T_1}\right)} = (\gamma-1) \cdot b\]

Решим уравнение относительно \(b\):

\[b = \frac{\log{\left(\frac{{T_2}}{T_1}\right)}}{\gamma-1}\]

Таким образом, чтобы узнать, на сколько раз уменьшилась температура газа при адиабатическом расширении в \(n\), нужно вычислить значение \(b\), подставив значения \(\gamma\) (для моноатомного газа \(\gamma = \frac{5}{3}\)) и \(n\) в формулу.

Пожалуйста, уточните начальную и конечную температуры газа, чтобы я мог вычислить необходимые значения.