На сколько раз уменьшится разность потенциалов на обкладках конденсатора за один период, если колебательный контур

Zagadochnaya_Sova

15

Для решения данной задачи мы можем использовать формулу колебаний в колебательном контуре:

\[\frac{dV}{dt} = -\frac{1}{LC}V - \frac{R}{L}I \]

где \( V \) - разность потенциалов на конденсаторе, \( L \) - индуктивность, \( C \) - емкость, \( R \) - сопротивление, \( I \) - ток.

В начале, когда контур находится в покое, разность потенциалов \( V \) равна максимальной разности потенциалов \( V_0 \) на конденсаторе.

Для нахождения уменьшения разности потенциалов, необходимо решить данное дифференциальное уравнение. Но чтобы упростить задачу, мы можем использовать следующее соотношение:

\[\frac{dV}{dt} = \omega^2(V_0 - V) \]

где \( \omega = \frac{1}{\sqrt{LC}} \) - собственная частота колебаний.

Таким образом, дифференциальное уравнение превращается в обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка:

\[V"" + \frac{R}{L}V" + \omega^2V = 0 \]

где \( V" \) - первая производная разности потенциалов \( V \).

Для решения этого уравнения, мы можем использовать характеристическое уравнение и найти корни.

Характеристическое уравнение будет иметь вид:

\[ r^2 + \frac{R}{L}r + \omega^2 = 0 \]

Корни этого уравнения можно найти с помощью формулы:

\[ r = \frac{-\frac{R}{L} \pm \sqrt{\left(\frac{R}{L}\right)^2 - 4\omega^2}}{2} \]

Когда \( \left(\frac{R}{L}\right)^2 > 4\omega^2 \), корни являются комплексными числами и колебания будут затухающими. В этом случае, разность потенциалов \( V \) будет уменьшаться экспоненциально со временем. Однако, в нашей задаче даны конкретные значения параметров такие, что \( \left(\frac{R}{L}\right)^2 < 4\omega^2 \), поэтому корни будут действительными числами.

После того как найдены корни, можно представить разность потенциалов \( V \) в виде:

\[ V(t) = Ce^{r_1t} + De^{r_2t} \]

где \( C \) и \( D \) - постоянные, определяемые начальными условиями.

Чтобы найти уменьшение разности потенциалов за один период, нужно найти значение \( V(t) \) в момент времени \( t = T \), где \( T \) - период колебаний.

Зная, что разность потенциалов на конденсаторе в начальный момент времени равна \( V_0 \), мы можем записать начальные условия:

\[ V(0) = V_0, \quad V"(0) = 0 \]

Подставив эти условия в уравнение для \( V(t) \), получаем:

\[ C + D = V_0, \quad r_1C + r_2D = 0 \]

Решая эти уравнения относительно \( C \) и \( D \), получим значения:

\[ C = \frac{r_2V_0}{r_2-r_1}, \quad D = \frac{r_1V_0}{r_1-r_2} \]

Теперь мы можем найти значение разности потенциалов \( V(T) \) в момент времени \( t = T \):

\[ V(T) = Ce^{r_1T} + De^{r_2T} \]

Уменьшение разности потенциалов будет равно:

\[ \frac{V_0 - V(T)}{V_0} \]

Подставим значения для \( C \), \( D \), \( r_1 \), \( r_2 \), \( V_0 \) и \( T \) в эти формулы и найдем результат.