На сколько раз увеличились главные центральные моменты инерции Jx и Jy после увеличения диаметра сплошного вала

Евгений

60

Чтобы решить данную задачу, мы будем использовать важное свойство главных центральных моментов инерции.
Главные центральные моменты инерции \(J_x\) и \(J_y\) вычисляются с использованием формулы:
\[J_x = \int (y^2 + z^2) \, dm\]
\[J_y = \int (x^2 + z^2) \, dm\]

Для сплошного вала, который имеет постоянную плотность, мы можем использовать формулу главного центрального момента инерции относительно оси, проходящей через центр масс и параллельной данной оси. Формула для этого момента инерции выглядит следующим образом:
\[Ĵ = J + Ad^2\]
где \(J\) - изначальный момент инерции относительно оси, проходящей через центр масс, \(A\) - масса тела, а \(d\) - расстояние от исходной оси до параллельной ей оси.

Из задачи нам известно, что момент инерции относительно оси \(Ox\) составляет \(Ĵ_x = 4 \, \text{см}^4\). Также, после увеличения диаметра вала в 3 раза, мы можем сказать, что масса вала \(A\) не изменилась.

Теперь нам нужно определить, насколько раз увеличились главные центральные моменты инерции \(J_x\) и \(J_y\) после увеличения диаметра. Заметим, что диаметр увеличился в 3 раза, что в свою очередь приводит к возрастанию размера на его квадрат, то есть \(d_{\text{новый}} = 3d_{\text{старый}}\). Тогда по формуле для главного центрального момента, вы можете записать следующее:
\[J_{\text{новый}} = J_{\text{старый}} + Ad_{\text{новый}}^2\]
\[J_{\text{новый}} = J_{\text{старый}} + A(3d_{\text{старый}})^2\]
\[J_{\text{новый}} = J_{\text{старый}} + 9Ad_{\text{старый}}^2\]
Таким образом, главный центральный момент инерции после увеличения диаметра в 3 раза будет больше исходного главного момента инерции на 9 раз (то есть на 900% от исходного значения).

Теперь перейдем к вычислению осевого момента инерции относительно оси \(Oy\). У нас есть формула осевого момента инерции:
\[J_{\text{осевой}} = J_x + J_y\]
Подставляя значения, предоставленные в задаче, мы получаем:
\[J_{\text{осевой}} = 4 \, \text{см}^4 + J_y\]
Поскольку вал сплошной, все его главные центральные моменты инерции равны. Таким образом, мы можем записать:
\[J_{\text{осевой}} = 4 \, \text{см}^4 + 4 \, \text{см}^4 = 8 \, \text{см}^4\]

Таким образом, осевой момент инерции относительно оси \(Oy\) равен \(8 \, \text{см}^4\).

В итоге, главный центральный момент инерции после увеличения диаметра в 3 раза увеличивается на 900%, а осевой момент инерции относительно оси \(Oy\) равен \(8 \, \text{см}^4\).