На сколько уменьшилась гравитационная сила, действующая на космонавта, когда космический корабль, стартовавший

Yagodka

24

Чтобы ответить на ваш вопрос, нам понадобится использовать закон всемирного тяготения, который гласит, что гравитационная сила \(F\) между двумя объектами прямо пропорциональна произведению их масс \(m_1\) и \(m_2\), а обратно пропорциональна расстоянию между ними \(r\) в квадрате. Формула для гравитационной силы выглядит следующим образом:

\[F = \frac{{G \cdot m_1 \cdot m_2}}{{r^2}}\]

Где \(G\) является гравитационной постоянной и приблизительно равна \(6.67430 \times 10^{-11}\, \text{м}^3/\text{кг}\cdot\text{с}^2\).

Теперь давайте рассмотрим данную задачу. Когда космонавт находится на поверхности Земли, расстояние между центром масс Земли и космонавтом равно радиусу Земли \(r_1\), а его масса равна \(m\). Следовательно, сила тяжести, действующая на космонавта, будет равна:

\[F_1 = \frac{{G \cdot m \cdot M}}{{r_1^2}}\]

Где \(M\) - масса Земли, которая составляет примерно \(5.972 \times 10^{24}\, \text{кг}\).

Когда космический корабль достигает круговой орбиты на высоте 200 км, расстояние между центром масс Земли и космонавтом становится равным сумме радиуса Земли и высоты орбиты \(r_2 = r_1 + 200\, \text{км}\). Теперь, чтобы найти новую силу тяжести \(F_2\), действующую на космонавта на этой орбите, мы можем использовать ту же формулу:

\[F_2 = \frac{{G \cdot m \cdot M}}{{r_2^2}}\]

Теперь давайте найдем, насколько уменьшилась гравитационная сила. Для этого вычтем \(F_2\) из \(F_1\):

\[\Delta F = F_1 - F_2\]

\[= \frac{{G \cdot m \cdot M}}{{r_1^2}} - \frac{{G \cdot m \cdot M}}{{r_2^2}}\]

\[= G \cdot m \cdot M \left( \frac{1}{{r_1^2}} - \frac{1}{{r_2^2}} \right)\]

Теперь проведем вычисления для конкретных значений и проверим, как изменился вес космонавта. Пусть радиус Земли \(r_1\) равен примерно \(6371\, \text{км}\) (это среднее значение), масса космонавта \(m\) равна \(70\, \text{кг}\) (примерная масса в диапазоне обычного веса человека), и высота орбиты равна \(200\, \text{км}\).

Подставим эти значения в формулу:

\[\Delta F = 6.67430 \times 10^{-11}\, \text{м}^3/\text{кг}\cdot\text{с}^2 \cdot 70\, \text{кг} \cdot 5.972 \times 10^{24}\, \text{кг} \left( \frac{1}{{(6371\, \text{км})^2}} - \frac{1}{{(6371\, \text{км} + 200\, \text{км})^2}} \right)\]

\[= 21.37\, \text{Н}\]

Теперь, чтобы определить, как изменился вес космонавта, мы можем использовать формулу веса \(W = m \cdot g\), где \(g\) - ускорение свободного падения. На поверхности Земли \(g\) примерно равно \(9.8\, \text{м/с}^2\). Таким образом, исходя из формулы веса, наш новый вес \(W_2\) будет:

\[W_2 = m \cdot g_2\]

Так как гравитационная сила на космонавта уменьшилась, следовательно, и ускорение свободного падения тоже уменьшится. Мы можем найти новое ускорение свободного падения \(g_2\) с помощью формулы:

\[g_2 = \frac{{F_2}}{{m}}\]

Подставим значение силы \(F_2\) из предыдущих расчетов и \(m = 70\, \text{кг}\):

\[g_2 = \frac{{21.37\, \text{Н}}}{{70\, \text{кг}}}\]

\[= 0.305\, \text{м/с}^2\]

Теперь, чтобы найти новый вес \(W_2\), подставим найденное значение ускорения свободного падения \(g_2\) в формулу веса:

\[W_2 = 70\, \text{кг} \cdot 0.305\, \text{м/с}^2\]

\[= 21.35\, \text{Н}\]

Таким образом, гравитационная сила, действующая на космонавта, уменьшилась на примерно \(21.37\, \text{Н}\), а его вес уменьшился на примерно \(21.35\, \text{Н}\). Это объясняется тем, что находясь на орбите Земли, космонавт находится на более удаленном расстоянии от центра Земли, что приводит к уменьшению гравитационной силы и веса.