На сколько уменьшится volumen конуса, если его высоту уменьшить в 22 раза? Volumen конуса

Pavel

11

Чтобы решить эту задачу, нам понадобится знание формулы для объема конуса. Обозначим исходный объем конуса как \(V_1\) и исходную высоту как \(h_1\). Тогда формула объема конуса будет следующей:

\[V_1 = \frac{1}{3} \pi r^2 h_1\]

Где \(r\) - радиус основания конуса.

Теперь нам нужно найти новый объем конуса, когда высота \(h_1\) уменьшается в 22 раза. Обозначим новый объем как \(V_2\) и новую высоту как \(h_2\).

Так как объем конуса зависит от высоты, мы можем записать отношение объемов старого и нового конусов следующим образом:

\[\frac{V_2}{V_1} = \frac{\frac{1}{3} \pi r^2 h_2}{\frac{1}{3} \pi r^2 h_1}\]

В этом уравнении радиус основания \(r\) находится в числителе и знаменателе, и он сокращается. Также обратите внимание, что у нас есть множество \(\frac{1}{3} \pi r^2\) в обоих числителе и знаменателе, и эти части тоже сокращаются. Это означает, что исходный радиус \(r\) не влияет на отношение объемов.

Мы можем упростить уравнение следующим образом:

\[\frac{V_2}{V_1} = \frac{h_2}{h_1}\]

Теперь заметим, что новая высота \(h_2\) равна исходной высоте \(h_1\), умноженной на 22 (так как высота уменьшилась в 22 раза):

\[h_2 = 22h_1\]

Теперь мы можем заменить \(h_2\) в уравнении для отношения объемов:

\[\frac{V_2}{V_1} = \frac{22h_1}{h_1}\]

Исходная высота \(h_1\) сокращается, и получаем:

\[\frac{V_2}{V_1} = 22\]

Это означает, что новый объем \(V_2\) равен исходному объему \(V_1\), умноженному на 22.

Итак, чтобы ответить на вопрос задачи, уменьшение объема конуса составляет 22 раза, если его высоту уменьшить в 22 раза.