На сколько увеличилась собственная частота колебательного контура после увеличения расстояния между пластинами плоского

  • 28
На сколько увеличилась собственная частота колебательного контура после увеличения расстояния между пластинами плоского конденсатора в четыре раза?
Звонкий_Эльф
61
Для решения этой задачи нам понадобится формула для расчета собственной частоты колебательного контура. Собственная частота (частота собственных колебаний) определяется как обратное значение произведения 2π на квадратный корень из индуктивности контура (L) и емкости контура (C). Математически это записывается следующим образом:

f0=12πLC

В данной задаче нам нужно вычислить, насколько увеличилась собственная частота колебательного контура после увеличения расстояния между пластинами плоского конденсатора в четыре раза. Предположим, что изначальная емкость плоского конденсатора была C, а новое расстояние между пластинами составляет 4d (где d - исходное расстояние между пластинами).

Сначала найдем изначальное значение емкости C для контура, используя имеющуюся информацию. Затем найдем новое значение емкости C" после увеличения расстояния между пластинами. Собственная частота после увеличения расстояния может быть выражена через новое значение емкости C" и сохраняет общую формулу:

f"=12πLC"

Для нахождения нового значения емкости C" мы можем использовать соотношение пластин конденсатора и емкости. Общее соотношение пластин и емкости может быть записано как

C=ε0εrAd

где ε₀ - диэлектрическая постоянная (приближенное значение равно 8.85 * 10^(-12) Ф/м), εᵣ - относительная диэлектрическая проницаемость среды между пластинами (приближенное значение равно 1 для вакуума и воздуха), A - площадь пластины (при условии, что площадь пластин одинакова), d - расстояние между пластинами.

Мы можем заменить исходную емкость C в формуле с помощью данного соотношения и решить его относительно расстояния между пластинами d. Затем, зная новое значение расстояния между пластинами 4d, мы можем выразить новое значение емкости C" и подставить его в формулу для собственной частоты контура.

Итак, пошаговое решение:

1. Заменяем исходную емкость C в формуле собственной частоты:

f0=12πLC

2. Подставляем соотношение пластин и емкости:

f0=12πL(ε0εrAd)

3. Решаем это уравнение относительно расстояния между пластинами d:

d=ε0εrA(2πf0)2L

4. Умножаем найденное расстояние между пластинами d на 4, чтобы получить новое расстояние между пластинами 4d:

4d=4ε0εrA(2πf0)2L

5. Выразим новое значение емкости C" через новое расстояние между пластинами:

C"=ε0εrA4d=ε0εrA4ε0εrA(2πf0)2L=(2πf0)2L4

6. Подставляем новое значение емкости C" в формулу для собственной частоты:

f"=12πL((2πf0)2L4)=12π(2πf0)2L24=12π2πf0L2=12πf0L

Таким образом, после увеличения расстояния между пластинами плоского конденсатора в четыре раза, собственная частота колебательного контура уменьшится в четыре раза.