На сколько увеличилась собственная частота колебательного контура после увеличения расстояния между пластинами плоского

Звонкий_Эльф

61

Для решения этой задачи нам понадобится формула для расчета собственной частоты колебательного контура. Собственная частота (частота собственных колебаний) определяется как обратное значение произведения 2π на квадратный корень из индуктивности контура (L) и емкости контура (C). Математически это записывается следующим образом:

\[ f_0 = \frac{1}{2\pi \sqrt{LC}} \]

В данной задаче нам нужно вычислить, насколько увеличилась собственная частота колебательного контура после увеличения расстояния между пластинами плоского конденсатора в четыре раза. Предположим, что изначальная емкость плоского конденсатора была C, а новое расстояние между пластинами составляет 4d (где d - исходное расстояние между пластинами).

Сначала найдем изначальное значение емкости C для контура, используя имеющуюся информацию. Затем найдем новое значение емкости C" после увеличения расстояния между пластинами. Собственная частота после увеличения расстояния может быть выражена через новое значение емкости C" и сохраняет общую формулу:

\[ f" = \frac{1}{2\pi \sqrt{LC"}} \]

Для нахождения нового значения емкости C" мы можем использовать соотношение пластин конденсатора и емкости. Общее соотношение пластин и емкости может быть записано как

\[ C = \frac{\varepsilon_0 \varepsilon_r A}{d} \]

где ε₀ - диэлектрическая постоянная (приближенное значение равно 8.85 * 10^(-12) Ф/м), εᵣ - относительная диэлектрическая проницаемость среды между пластинами (приближенное значение равно 1 для вакуума и воздуха), A - площадь пластины (при условии, что площадь пластин одинакова), d - расстояние между пластинами.

Мы можем заменить исходную емкость C в формуле с помощью данного соотношения и решить его относительно расстояния между пластинами d. Затем, зная новое значение расстояния между пластинами 4d, мы можем выразить новое значение емкости C" и подставить его в формулу для собственной частоты контура.

Итак, пошаговое решение:

1. Заменяем исходную емкость C в формуле собственной частоты:

\[ f_0 = \frac{1}{2\pi \sqrt{LC}} \]

2. Подставляем соотношение пластин и емкости:

\[ f_0 = \frac{1}{2\pi \sqrt{L \left(\frac{\varepsilon_0 \varepsilon_r A}{d}\right)}} \]

3. Решаем это уравнение относительно расстояния между пластинами d:

\[ d = \frac{\varepsilon_0 \varepsilon_r A}{(2\pi f_0)^2L} \]

4. Умножаем найденное расстояние между пластинами d на 4, чтобы получить новое расстояние между пластинами 4d:

\[ 4d = \frac{4\varepsilon_0 \varepsilon_r A}{(2\pi f_0)^2L} \]

5. Выразим новое значение емкости C" через новое расстояние между пластинами:

\[ C" = \frac{\varepsilon_0 \varepsilon_r A}{4d} = \frac{\varepsilon_0 \varepsilon_r A}{\frac{4\varepsilon_0 \varepsilon_r A}{(2\pi f_0)^2L}} = \frac{(2\pi f_0)^2L}{4} \]

6. Подставляем новое значение емкости C" в формулу для собственной частоты:

\[ f" = \frac{1}{2\pi \sqrt{L \left(\frac{(2\pi f_0)^2L}{4}\right)}} = \frac{1}{2\pi \sqrt{\frac{(2\pi f_0)^2L^2}{4}}} = \frac{1}{2\pi \frac{2\pi f_0 L}{2}} = \frac{1}{2\pi f_0 L} \]

Таким образом, после увеличения расстояния между пластинами плоского конденсатора в четыре раза, собственная частота колебательного контура уменьшится в четыре раза.