На яке число збільшили радіус кулі? У скільки разів змінився об єм кулі внаслідок цього? А в скільки разів змінилася

Vesenniy_Les

54

Для начала, давайте вспомним формулы для объема \( V \), площади поверхности \( S \) и радиуса \( r \) сферы:

\[ V = \frac{4}{3} \pi r^3 \]
\[ S = 4 \pi r^2 \]

Из условия задачи следует, что радиус сферы увеличился на какое-то число. Пусть это число обозначается как \( k \). Тогда новый радиус можно выразить через старый радиус \( r \):

\[ r_{\text{новый}} = r_{\text{старый}} + k \]

Теперь мы можем рассчитать новые значения объема и площади поверхности сферы с новым радиусом.

Объем новой сферы:

\[ V_{\text{новый}} = \frac{4}{3} \pi (r_{\text{новый}})^3 \]

Подставив выражение для \( r_{\text{новый}} \):

\[ V_{\text{новый}} = \frac{4}{3} \pi (r_{\text{старый}} + k)^3 \]

Можно заметить, что это выражение необходимо упростить, чтобы сравнить с предыдущим значением объема. Раскроем куб:

\[ V_{\text{новый}} = \frac{4}{3} \pi (r_{\text{старый}}^3 + 3r_{\text{старый}}^2k + 3r_{\text{старый}}k^2 + k^3) \]

Учитывая, что \( V_{\text{старый}} = \frac{4}{3} \pi r_{\text{старый}}^3 \), вычтем \( V_{\text{старый}} \) из \( V_{\text{новый}} \), чтобы найти, во сколько раз изменился объем:

\[ \Delta V = V_{\text{новый}} - V_{\text{старый}} = \frac{4}{3} \pi (r_{\text{старый}}^3 + 3r_{\text{старый}}^2k + 3r_{\text{старый}}k^2 + k^3) - \frac{4}{3} \pi r_{\text{старый}}^3 \]

\[ \Delta V = \frac{4}{3} \pi (3r_{\text{старый}}^2k + 3r_{\text{старый}}k^2 + k^3) \]

Теперь рассмотрим изменение площади поверхности сферы.

Площадь поверхности новой сферы:

\[ S_{\text{новый}} = 4 \pi (r_{\text{новый}})^2 \]

Используя выражение для \( r_{\text{новый}} \):

\[ S_{\text{новый}} = 4 \pi (r_{\text{старый}} + k)^2 \]

\[ S_{\text{новый}} = 4 \pi (r_{\text{старый}}^2 + 2r_{\text{старый}}k + k^2) \]

Аналогично, найдем разницу между новой и старой площадью поверхности:

\[ \Delta S = S_{\text{новый}} - S_{\text{старый}} = 4 \pi (r_{\text{старый}}^2 + 2r_{\text{старый}}k + k^2) - 4 \pi r_{\text{старый}}^2 \]

\[ \Delta S = 4 \pi (2r_{\text{старый}}k + k^2) \]

Таким образом, ответ на задачу: объем кули будет изменен на \( \frac{4}{3} \pi (3r_{\text{старый}}^2k + 3r_{\text{старый}}k^2 + k^3) \) и площадь поверхности изменится на \( 4 \pi (2r_{\text{старый}}k + k^2) \). Эти выражения позволяют узнать, во сколько раз изменится объем и площадь поверхности сферы при увеличении радиуса на \( k \) единиц.