Найти время, через которое произойдет распад 2 мг полония Ро, если в начальный момент его масса составляла 0,2 г. (Дан

Vinni

46

Для решения данной задачи мы воспользуемся формулой для расчета остаточной массы вещества по прошествии определенного времени. Формула имеет вид:

$$M=M_0\times {\left(\frac{1}{2}\right)}^{\frac{t}{T_{1/2}}}$$

Где:
- $M$ - остаточная масса вещества;
- $M_0$ - начальная масса вещества;
- $t$ - прошедшее время;
- $T_{1/2}$ - период полураспада вещества.

Подставляя известные значения в формулу, получаем:

$$2\text{мг}=0.2\text{г}\times {\left(\frac{1}{2}\right)}^{\frac{t}{138\text{суток}}}$$

Для дальнейшего удобства, переведем массу в одинаковую единицу измерения. Поскольку одна грамма равна 1000 миллиграммам, получаем:

$$2\text{мг}=0.2\text{г}\times 1000\frac{\text{мг}}{\text{г}}=200\text{мг}$$

Теперь получаем уравнение:

$$200=200\times {\left(\frac{1}{2}\right)}^{\frac{t}{138\text{суток}}}$$

Для решения данного уравнения необходимо избавиться от множителя перед скобкой. Для этого поделим обе части уравнения на 200:

$$\frac{200}{200}=\frac{200}{200}\times {\left(\frac{1}{2}\right)}^{\frac{t}{138\text{суток}}}$$

Упрощая, получаем:

$$1={\left(\frac{1}{2}\right)}^{\frac{t}{138\text{суток}}}$$

Теперь применим логарифмирование к обеим частям уравнения. В данном случае, удобно использовать натуральный логарифм:

$$\ln (1)=\ln \left({\left(\frac{1}{2}\right)}^{\frac{t}{138\text{суток}}}\right)$$

Так как натуральный логарифм от единицы равен нулю, уравнение упрощается:

$$0=\frac{t}{138\text{суток}}\times \ln \left(\frac{1}{2}\right)$$

Для дальнейшего решения уравнения, найдем значение натурального логарифма:

$$\ln \left(\frac{1}{2}\right)\approx -0.693147$$

Подставим это значение в уравнение:

$$0=\frac{t}{138\text{суток}}\times (-0.693147)$$

Теперь решая уравнение относительно времени $t$, получаем:

$$t=\frac{0}{138\text{суток}}÷(-0.693147)$$

Очевидно, что в данном случае, уравнение имеет тривиальное решение:

$$t=0$$

Получается, что время, через которое произойдет распад 2 мг полония Ро, равно нулю. То есть, в начальный момент времени произошел полный распад данного вещества и оно полностью превратилось в другие элементы или связки атомов.