Найти время, через которое произойдет распад 2 мг полония Ро, если в начальный момент его масса составляла 0,2 г. (Дан

Vinni

46

Для решения данной задачи мы воспользуемся формулой для расчета остаточной массы вещества по прошествии определенного времени. Формула имеет вид:

\[ M = M_0 \times \left( \frac{1}{2} \right)^{\frac{t}{T_{1/2}}} \]

Где:
- \( M \) - остаточная масса вещества;
- \( M_0 \) - начальная масса вещества;
- \( t \) - прошедшее время;
- \( T_{1/2} \) - период полураспада вещества.

Подставляя известные значения в формулу, получаем:

\[ 2 \, \text{мг} = 0.2 \, \text{г} \times \left( \frac{1}{2} \right)^{\frac{t}{138 \, \text{суток}}} \]

Для дальнейшего удобства, переведем массу в одинаковую единицу измерения. Поскольку одна грамма равна 1000 миллиграммам, получаем:

\[ 2 \, \text{мг} = 0.2 \, \text{г} \times 1000 \, \frac{\text{мг}}{\text{г}} = 200 \, \text{мг} \]

Теперь получаем уравнение:

\[ 200 = 200 \times \left( \frac{1}{2} \right)^{\frac{t}{138 \, \text{суток}}} \]

Для решения данного уравнения необходимо избавиться от множителя перед скобкой. Для этого поделим обе части уравнения на 200:

\[ \frac{200}{200} = \frac{200}{200} \times \left( \frac{1}{2} \right)^{\frac{t}{138 \, \text{суток}}} \]

Упрощая, получаем:

\[ 1 = \left( \frac{1}{2} \right)^{\frac{t}{138 \, \text{суток}}} \]

Теперь применим логарифмирование к обеим частям уравнения. В данном случае, удобно использовать натуральный логарифм:

\[ \ln(1) = \ln\left(\left( \frac{1}{2} \right)^{\frac{t}{138 \, \text{суток}}} \right) \]

Так как натуральный логарифм от единицы равен нулю, уравнение упрощается:

\[ 0 = \frac{t}{138 \, \text{суток}} \times \ln\left(\frac{1}{2}\right) \]

Для дальнейшего решения уравнения, найдем значение натурального логарифма:

\[ \ln\left(\frac{1}{2}\right) \approx -0.693147 \]

Подставим это значение в уравнение:

\[ 0 = \frac{t}{138 \, \text{суток}} \times (-0.693147) \]

Теперь решая уравнение относительно времени \( t \), получаем:

\[ t = \frac{0}{138 \, \text{суток}} \div (-0.693147) \]

Очевидно, что в данном случае, уравнение имеет тривиальное решение:

\[ t = 0 \]

Получается, что время, через которое произойдет распад 2 мг полония Ро, равно нулю. То есть, в начальный момент времени произошел полный распад данного вещества и оно полностью превратилось в другие элементы или связки атомов.