На якій швидкості потрібно запустити ракету, щоб вона стала штучним супутником Венери? Врахуйте, що маса Венери

Lina_5547

22

Щоб з"ясувати, на якій швидкості потрібно запустити ракету, щоб вона стала штучним супутником Венери, нам знадобиться застосувати закон всесвітньої тяжіння Ньютона. Закон переписується наступним чином:

\[F = \frac{{G \cdot m_1 \cdot m_2}}{{r^2}}\]

де \(F\) - сила взаємодії між двома тілами, \(G\) - гравітаційна стала, \(m_1\) і \(m_2\) - маси тіл, \(r\) - відстань між цими тілами.

У нашому випадку, одне з тіл - це ракета, а інше тіло - Венера. Ми шукаємо швидкість ракети, тому нам знадобиться швидкість, яка дозволить ракеті утримуватися на орбіті навколо Венери. Ця швидкість називається першою космічною швидкістю \(v\).

Ми можемо вивести вираз для першої космічної швидкості, використовуючи закон збереження енергії. Кінетична енергія ракети на орбіті повинна дорівнювати до потенційної енергії Гравітації між ракетою і Венерою.

\(\frac{1}{2} m v^2 = \frac{G \cdot m \cdot M}{r}\)

де \(M\) - маса Венери, \(m\) - маса ракети, \(r\) - відстань від центра Венери до ракети.

Масу Венери \(M\) ми вже знаємо: \(M = 4,92∙10^{24}\) кг.
Також нам надають радіус Венери, але ми повинні врахувати, що відстань між центром Венери і центром ракети буде дорівнювати радіусу Венери плюс висота орбіти ракети \(h\): \(r = R + h\), де \(R\) - радіус Венери, \(h\) - висота орбіти.

Замінюючи ці значення в нашому виразі для потенційної енергії, отримуємо:

\(\frac{1}{2} m v^2 = \frac{G \cdot m \cdot M}{{(R + h)}}\)

Тепер ми можемо розбити наш вираз на \(v\) і розв"язати його для \(v\):

\(v = \sqrt{\frac{{2 \cdot G \cdot M}}{{R + h}}}\)

Отже, швидкість, яку потрібно надати ракеті, щоб стати штучним супутником Венери, обчислюється за формулою

\[v = \sqrt{\frac{{2 \cdot G \cdot M}}{{R + h}}}\]

Тепер достатньо підставити значення гравітаційної сталої \(G = 6.67 \times 10^{-11}\) м\(^3\)·кг\(^{-1}\)·с\(^{-2}\), маси Венери \(M = 4.92 \times 10^{24}\) кг та радіуса Венери \(R = 6050\) км. Висота орбіти \(h\) може бути обрана шляхом розгляду певного сценарію земної орбіти.

Примітка: Враховуйте одиниці вимірювання, і калібрування для \(h\) - треба перевести радіус з кілометрів на метри. Результат виразу \(v\) буде в метрах за секунду.