На якій висоті (в км) над поверхнею Землі прискорення при вільному падінні стає 16 разів меншим, ніж на поверхні Землі?

Якобин

42

Чтобы решить данную задачу, мы должны использовать законы гравитации и описать силу притяжения между телами. Для этого воспользуемся Законом всемирного тяготения, согласно которому сила притяжения между двумя телами прямо пропорциональна их массам и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними.

В нашем случае, мы сравниваем ускорение свободного падения на поверхности Земли и на некоторой высоте над Землей. Ускорение свободного падения на Земле обозначим как \(g\), а на данной высоте обозначим как \(g"\).

Тогда, согласно Закону всемирного тяготения, сила притяжения на Земле будет равна \(\frac{{G \cdot M \cdot m}}{{R^2}}\), где \(G\) - гравитационная постоянная, \(M\) - масса Земли, \(m\) - масса падающего тела, \(R\) - радиус Земли.

Ускорение свободного падения на Земле можно найти, разделив силу притяжения на массу падающего тела:

\[g = \frac{{G \cdot M}}{{R^2}}\]

Теперь рассмотрим высоту над поверхностью Земли. Расстояние от центра Земли до данной высоты будет равно \(R + h\), где \(h\) - высота.

Сила притяжения на этой высоте будет равна \(\frac{{G \cdot M \cdot m}}{{(R + h)^2}}\).

То есть, ускорение свободного падения на этой высоте будет:

\[g" = \frac{{G \cdot M}}{{(R + h)^2}}\]

Мы знаем, что ускорение свободного падения на высоте \(h\) становится 16 раз меньше, чем на поверхности Земли. То есть:

\[g" = \frac{1}{16} \cdot g\]

Теперь у нас есть два уравнения:

\[g = \frac{{G \cdot M}}{{R^2}}\]
\[g" = \frac{{G \cdot M}}{{(R + h)^2}}\]

Мы можем подставить значение \(g\) из первого уравнения во второе:

\[\frac{1}{16} \cdot g = \frac{{G \cdot M}}{{(R + h)^2}}\]

Теперь, чтобы найти высоту \(h\), нам нужно алгебраически решить это уравнение относительно \(h\).

Давайте подставим известные значения: \(g = 9.8 \, \text{м/c}^2\), \(G = 6.67 \times 10^{-11} \, \text{Нм}^2/\text{кг}^2\), \(M = 5.97 \times 10^{24} \, \text{кг}\), \(R = 6400 \, \text{км}\).

\[\frac{1}{16} \cdot 9.8 = \frac{{6.67 \times 10^{-11} \cdot 5.97 \times 10^{24}}}{{(6400 + h)^2}}\]

Решить это уравнение аналитически может быть сложно, поэтому воспользуемся калькулятором или программой для численного решения. Чтобы получить точный ответ на данную задачу.