На яку висоту над точкою відриву підніметься камінь, якщо мотузку обірветься в той самий момент, коли камінь робить

Puteshestvennik

8

Дано: камінь робить 3 оберти за секунду в вертикальній площині завдовжки 0.5 метрів.
Запитання: на яку висоту над точкою відриву підніметься камінь, якщо мотузку обірветься?

Для розв"язання цієї задачі ми можемо скористатися законом збереження енергії.

У нашому випадку, коли мотузка обірветься, камінь рухатиметься по вертикальній траєкторії під дією лише власної кінетичної енергії.

Перетворимо дані задачі на відповідні величини енергії:
- Початкова механічна енергія каменя: \(E_{поч} = 0\) (оскільки висота підняття починається з нуля)
- Кінетична енергія каменя на момент розриву мотузки: \(E_{кін} = \frac{1}{2}mv^2\) (де \(m\) - маса каменя, а \(v\) - швидкість каменя на момент розриву мотузки)

Візьмемо до уваги, що на шляху руху каменю має діяти лише сила тяжіння.

За законом збереження енергії маємо: \(E_{поч} + E_{кін} + E_{пот} = E_{кін}\), де \(E_{пот}\) - потенціальна енергія каменя на висоті \(h\) над точкою відриву мотузки.

Таким чином, \(E_{пот} = 0\), оскільки камінь починає рухатися з нульової висоти. Тоді:
\(E_{поч} = E_{кін}\)
\(0 + 0 + E_{пот} = \frac{1}{2}mv^2\)

Ми також можемо пов"язати швидкість каменя з частотою обертання і довжиною вертикальної площини.
Оскільки камінь робить 3 оберти за секунду, це означає, що він робить \(3 \cdot 2\pi\) радіан за секунду.

Відстань, яку проходить камінь за один оберт (або 360 градусів), дорівнює довжині вертикальної площини, тобто 0.5 метра.
Тоді шлях, пройдений каменем за 3 оберти, дорівнює \(3 \cdot 0.5\) метра.

Швидкість каменя можна обчислити, використовуючи формулу шляху, часу та швидкості:
\(v = \frac{s}{t}\), де \(s\) - шлях, а \(t\) - час.
В нашому випадку шлях дорівнює \(3 \cdot 0.5\) метра, а час - 1 секунда.
Тоді швидкість каменя дорівнює \(v = \frac{3 \cdot 0.5}{1}\) метра за секунду.

Отже, можна записати рівняння:
\(\frac{1}{2}mv^2 = E_{пот}\)
\(\frac{1}{2}m\left(\frac{3 \cdot 0.5}{1}\right)^2 = E_{пот}\)

Тепер ми можемо обчислити потенціальну енергію каменя, використовуючи відомі значення маси каменя і швидкості:
\(E_{пот} = \frac{1}{2}m\left(\frac{3 \cdot 0.5}{1}\right)^2\)

Це рівняння дасть нам потенціальну енергію каменя на висоті \(h\) над точкою відриву мотузки. Оскільки початкова потенціальна енергія каменя рівна нулю, \(E_{поч} = 0\), ми можемо співставити це значення з виразом для потенціальної енергії:

\(0 = \frac{1}{2}m\left(\frac{3 \cdot 0.5}{1}\right)^2\)

З цього рівняння ми можемо знайти шукану висоту \(h\).
Обчислимо значення виразу:
\(0 = \frac{1}{2}m(1.5)^2\)
\(0 = 0.75m\)

Відповідно, ми отримуємо, що потенціальна енергія каменя на висоті \(h\) над точкою відриву мотузки дорівнює нулю. Це означає, що камінь не піднімається вище точки відриву мотузки. Висота підняття каменя буде рівна нулю.