Написать уравнение параболы с фокусом в начале координат, при условии, что координаты фокуса f(0

Puma

20

Для начала, давайте вспомним основные свойства параболы. Уравнение параболы имеет стандартную форму \(y = ax^2 + bx + c\), где \(a\), \(b\) и \(c\) - коэффициенты, которые мы должны найти.

Зная, что фокус находится в начале координат, то координаты фокуса \(f\) будут \(f(0,0)\). Так как фокус является точкой на параболе, то он находится на расстоянии \(p\) от вершины параболы.

Так как фокус находится в начале координат, то расстояние от фокуса до вершины параболы будет равно расстоянию от начала координат до вершины параболы, которая также является точкой на оси симметрии параболы. Таким образом, расстояние от фокуса до вершины параболы будет равно \(p\), а это расстояние мы должны определить.

Помните формулу расстояния между двумя точками в прямоугольной системе координат? Для нашей задачи, это будет формула \(\sqrt{x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}\), где \((x_1, y_1)\) - координаты фокуса, а \((x_2, y_2)\) - координаты вершины параболы.

Итак, у нас есть:

\(x_1 = 0\) (фокус находится в начале координат)
\(y_1 = 0\) (фокус находится в начале координат)

\(x_2\) - координата вершины параболы
\(y_2\) - зависит от \(a\), \(b\) и \(c\), но пока мы не знаем этих значений.

Расстояние между фокусом и вершиной параболы равно \(p\), поэтому данное расстояние можно записать следующим образом:

\(p = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}\)

Подставим известные значения:

\(p = \sqrt{(x_2 - 0)^2 + (y_2 - 0)^2}\)

Учитывая, что \(x_1\) и \(y_1\) равны нулю, выражение упрощается:

\(p = \sqrt{x_2^2 + y_2^2}\)

Обратите внимание, что \(y\) зависит от \(a\), \(b\) и \(c\), и его мы пока не можем определить. Однако, мы можем записать его в некоторой общей формуле:

\(y = ax^2 + bx + c\)

Теперь давайте воспользуемся фактом, что вершина параболы является крайней точкой на графике параболы и находится на одинаковом расстоянии от фокуса и от оси симметрии. Это расстояние равно \(p\).

Таким образом, получаем два уравнения:

\(y = ax^2 + bx + c\)
\(p = \sqrt{x_2^2 + y_2^2}\)

Решим второе уравнение относительно \(p\):

\(p^2 = x_2^2 + y_2^2\)

Теперь мы можем подставить значение \(y\) из первого уравнения во второе уравнение:

\(p^2 = x_2^2 + (ax_2^2 + bx_2 + c)^2\)

Дальше мы можем сократить эту формулу, упростив ее. Но без дополнительных условий или точных значений нам сложно продолжить решение. У вас есть дополнительная информация, чтобы продолжить решение?