1) Чему равно выражение cos^2 110° + sin^2 110°? 2) Каково значение выражения tg 72° / tg 108°?

Eva

47

Давайте начнем с первой задачи.

1) Чему равно выражение \( \cos^2 110^\circ + \sin^2 110^\circ \)?

Для начала, давайте вспомним основное тригонометрическое тождество: \( \cos^2 x + \sin^2 x = 1 \). Это тождество верно для любого значения \( x \).

В данной задаче у нас \( x = 110^\circ \), поэтому мы можем применить это тождество:

\( \cos^2 110^\circ + \sin^2 110^\circ = 1 \).

То есть, выражение будет равно 1.

Теперь перейдем ко второй задаче.

2) Каково значение выражения \( \frac{{\tan 72^\circ}}{{\tan 108^\circ}} \)?

Для решения этой задачи, нам необходимо знать значения тангенса для углов 72° и 108°. Давайте рассмотрим каждый угол по очереди:

Угол 72°: Мы можем использовать тригонометрическую формулу, которая гласит \( \tan(x) = \frac{{\sin(x)}}{{\cos(x)}} \). Подставим значение \( x = 72^\circ \):

\( \tan 72^\circ = \frac{{\sin 72^\circ}}{{\cos 72^\circ}} \).

Угол 108°: Применим ту же формулу для \( x = 108^\circ \):

\( \tan 108^\circ = \frac{{\sin 108^\circ}}{{\cos 108^\circ}} \).

Теперь давайте найдем числовые значения синусов и косинусов для каждого угла, используя тригонометрические таблицы или калькулятор:

\( \sin 72^\circ \approx 0.951 \), \( \cos 72^\circ \approx 0.309 \),

\( \sin 108^\circ \approx 0.951 \), \( \cos 108^\circ \approx -0.309 \).

Подставим эти значения в исходное выражение:

\( \frac{{\tan 72^\circ}}{{\tan 108^\circ}} = \frac{{0.951 / 0.309}}{{0.951 / (-0.309)}} \).

Заметим, что отрицательные знаки перед косинусом в числителе и знаменателе сокращаются, поэтому выражение упрощается:

\( \frac{{0.951 / 0.309}}{{0.951 / (-0.309)}} = \frac{{0.951}}{{0.951}} \).

Имеем значение 1.

Таким образом, значение выражения \( \frac{{\tan 72^\circ}}{{\tan 108^\circ}} \) равно 1.