Напишите и решите упражнения на перестановки, перемещения, основанные на примерах из раздела 13.7

Anastasiya

66

Конечно, я могу помочь с задачами на перестановки и перемещения из раздела 13.7. Вот несколько примеров упражнений с пошаговым решением:

Упражнение 1:
Сколько существует перестановок множества из 5 элементов?
Решение:
Для решения этой задачи мы можем использовать формулу для количества перестановок из n элементов: \(P_n = n!\)
В данном случае n = 5, поэтому мы можем вычислить:
\(P_5 = 5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120\)
Таким образом, существует 120 перестановок множества из 5 элементов.

Упражнение 2:
Найдите количество подстановок множества из 4 элементов, в которых ни один элемент не стоит на своем месте.
Решение:
Для решения этой задачи мы можем использовать формулу для количества подстановок без неподвижных точек, известную как число деранжманов: \(D_n = n! \times \left(1 - \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} - \frac{1}{3!} + \frac{1}{4!} - ... + (-1)^n \cdot \frac{1}{n!}\right)\)
В данном случае n = 4, поэтому мы можем вычислить:
\(D_4 = 4! \times \left(1 - \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} - \frac{1}{3!} + \frac{1}{4!}\right)\\
= 4! \times (1 - 1 + \frac{1}{2} - \frac{1}{6} + \frac{1}{24})\\
= 4! \times (1 - 1 + \frac{1}{2} - \frac{1}{6} + \frac{1}{24})\\
= 24 \times (\frac{11}{24})\\
= 11\)
Таким образом, существует 11 подстановок множества из 4 элементов, в которых ни один элемент не стоит на своем месте.

Это лишь несколько примеров задач на перестановки и перемещения из раздела 13.7. Если у вас есть другие задачи, с удовольствием помогу вам с ними.