Напишите уравнения, описывающие зависимость скорости и ускорения от времени для тела массой 2 кг, которое совершает

Ласточка

13

Для решения данной задачи нам потребуется применить формулы, связанные с колебаниями тела. Давайте рассмотрим эти формулы по очереди.

Первоначально, в задаче указан закон движения тела в виде функции \(x = 2\cos(\pi t + \frac{\pi}{4})\), где \(x\) - смещение тела относительно равновесного положения в момент времени \(t\).

Прежде, чем перейти к скорости и ускорению, уточним значение скорости и ускорения для гармонических колебаний. Для таких колебаний, скорость тела \(v(t)\) определяется как производная от \(x\) по времени, а ускорение \(a(t)\) как производная от \(v\) по времени.

Теперь найдем производные. Для начала, рассчитаем первую производную \(v(t)\):

\[
v(t) = \frac{dx}{dt} = -2\pi\sin(\pi t + \frac{\pi}{4})
\]

Теперь рассчитаем вторую производную \(a(t)\):

\[
a(t) = \frac{d^2x}{dt^2} = -2\pi^2\cos(\pi t + \frac{\pi}{4})
\]

Таким образом, уравнение, описывающее зависимость скорости от времени, будет выглядеть как:

\[
v(t) = -2\pi\sin(\pi t + \frac{\pi}{4})
\]

А уравнение, описывающее зависимость ускорения от времени, будет выглядеть как:

\[
a(t) = -2\pi^2\cos(\pi t + \frac{\pi}{4})
\]

В данном случае тело массой 2 кг совершает гармонические колебания вокруг равновесного положения, заданные законом \(x = 2\cos(\pi t + \frac{\pi}{4})\). Скорость тела (\(v(t)\)) будет равна \(-2\pi\sin(\pi t + \frac{\pi}{4})\) и ускорение (\(a(t)\)) будет равно \(-2\pi^2\cos(\pi t + \frac{\pi}{4})\).