Насколько изменится ускорение свободного падения на поверхности меркурия, если радиус увеличится в 1,4 раза

Цикада

39

Чтобы решить данную задачу, мы можем использовать закон всемирного тяготения и формулу для ускорения свободного падения.

Закон всемирного тяготения говорит нам, что сила гравитационного притяжения между двумя объектами прямо пропорциональна произведению их масс и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними:
\[F = G \cdot \frac{m_1 \cdot m_2}{r^2}\]
где F - сила гравитационного притяжения, G - гравитационная постоянная, \(m_1\) и \(m_2\) - массы объектов, а r - расстояние между ними.

Ускорение свободного падения g на поверхности планеты можно выразить через силу гравитационного притяжения и массу планеты:
\[g = \frac{F}{m}\]
где m - масса планеты.

В данном случае у нас остаются постоянными масса планеты и ускорение свободного падения: \(m\) = const и \(g\) = const.

При увеличении радиуса планеты в 1,4 раза (обозначим новый радиус как \(r_2\)), мы можем воспользоваться формулой для ускорения свободного падения, чтобы найти новое ускорение \(g_2\) на поверхности планеты с новым радиусом:
\[g_2 = \frac{F}{m_2}\]

Так как сила гравитационного притяжения \(F\) остается неизменной, мы можем записать:
\[F = m \cdot g = m_2 \cdot g_2\]

Используя закон всемирного тяготения, мы можем выразить силу гравитационного притяжения через массу, ускорение и радиус:
\[F = G \cdot \frac{m \cdot m_2}{r^2}\]
\[m \cdot g = G \cdot \frac{m \cdot m_2}{r^2}\]

Заметим, что масса \(m\) сокращается на обеих сторонах уравнения, и мы можем решить уравнение относительно \(g_2\):
\[g_2 = g \cdot \frac{r^2}{r_2^2}\]
\[g_2 = 3,7 \, \frac{м}{с^2} \cdot \frac{(r_1)^2}{(r_2)^2}\]
\[g_2 = 3,7 \, \frac{м}{с^2} \cdot \frac{(1,4r_2)^2}{(r_2)^2}\]

Таким образом, ускорение свободного падения на поверхности меркурия изменится пропорционально квадрату отношения радиусов:
\[g_2 = 3,7 \, \frac{м}{с^2} \cdot \frac{(1,4r_2)^2}{(r_2)^2}\]

Теперь мы можем подставить значения: \(g_2 = 3,7 \, м/с^2 \cdot \frac{(1,4)^2}{1^2}\) и рассчитать новое ускорение свободного падения на поверхности меркурия.