Насколько увеличился промежуток времени, в течение которого количество радиоактивных атомов радия-226 сократилось

Pyatno

65

Для решения этой задачи мы должны учесть, что скорость распада радиоактивных атомов определяется их постоянной радиоактивного распада. Начнем с определения постоянной радиоактивного распада.

Пусть \(N(t)\) - количество оставшихся атомов вещества в момент времени \(t\), \(N_0\) - изначальное количество атомов вещества, и \(k\) - постоянная радиоактивного распада. Тогда закон распада выглядит следующим образом:

\[N(t) = N_0 \cdot e^{-kt},\]

где \(e\) - основание натурального логарифма и \(t\) - время.

Мы можем найти время, в течение которого количество радиоактивных атомов радия-226 сократилось на четверть. Обозначим это время как \(t_1\). Тогда у нас есть:

\(\frac{N(t_1)}{N_0} = \frac{1}{4}.\)

Подставим выражение для \(N(t)\) и решим уравнение:

\[N_0 \cdot e^{-kt_1} = \frac{1}{4} \cdot N_0,\]
\[e^{-kt_1} = \frac{1}{4}.\]

Чтобы найти \(t_1\), применим натуральный логарифм к обеим сторонам уравнения:

\[-kt_1 = \ln{\frac{1}{4}},\]
\[t_1 = -\frac{\ln{\frac{1}{4}}}{k}.\]

Аналогично, найдем время, в течение которого количество радиоактивных атомов цезия-137 сократилось на четверть. Обозначим это время как \(t_2\). У нас будет:

\(\frac{N(t_2)}{N_0} = \frac{1}{4}.\)

Используя тот же подход, получим:

\[t_2 = -\frac{\ln{\frac{1}{4}}}{k}.\]

Теперь мы можем выразить отношение \(t_1\) и \(t_2\) и найти, во сколько раз одна постоянная радиоактивного распада больше другой.

\[\frac{t_1}{t_2} = \frac{-\frac{\ln{\frac{1}{4}}}{k}}{-\frac{\ln{\frac{1}{4}}}{k}},\]
\[\frac{t_1}{t_2} = 1.\]

Отношение \(t_1\) к \(t_2\) равно 1, а значит, указанные промежутки времени равны. Это говорит нам о том, что количество радиоактивных атомов радия-226 и цезия-137 уменьшается с одинаковой скоростью.

Что касается отношения их постоянных радиоактивного распада (\(k_1\) и \(k_2\)), то мы не можем найти его без конкретных значения для данных величин. Но если данные постоянные равны, то отношение будет равно 1.

Вывод: Промежуток времени, в течение которого количество радиоактивных атомов радия-226 сократилось на четверть, такой же, как и промежуток времени для радиоактивных атомов цезия-137. Отношение их постоянных радиоактивного распада будет зависеть от конкретных значений, и мы не можем его определить только по условию задачи.